Problema con variabili aleatorie! Help!

[fashionprivate]

Ciao a tutti! Non riesco a risolvere un problema anche se può sembrare banale. C'è qualcuno che riesce a risolverlo? Grazie!

Esercizio:
Siano $X$ e $Y$ variabili aleatorie indipendenti, $X$ $\sim$ Binomiale$(5, 1/2)$, $Y$ $\sim$ Geometrica$(1/2)$.
Posto $Z = \{(X,if Y > 3),(X + 5,if Y <= 3):}$

Si trovi
1) $E[Z]$
2) $Var(Z)$
3) $E[YX^2]$

Vi ringrazio anticipatamente!

[clrscr]

1)

$E[Z]=E[Z|Y>3]*P[Y>3]+E[Z|Y<=3]*P[Y<=3]=E[X]*P[Y>3]+5+E[X]*P[Y<=3]$

2)

$Var(Z)=E[Z^2]-(E[Z])^2$

3)
Sfruttando l'indipendenza:

$E[YX^2]=E[Y]*E[X^2]$.

Qualche dubbio o perplessità?

[fashionprivate]

ok, sei stato chiarissimo!! adesso ho capito tutto quanto!! non avevo intuito che ci stava di mezzo la probabilità condizionale, ma adesso che ci penso era banale! grazie ancora!!!!!! mi sei stato utilissimo!!!!!

[fashionprivate]

Scusami ancora, ho fatto tutti i calcoli ma ora mi sorge un dubbio:
la $P(Y <= 3) = F(3)$ dove $F$ è la funzione di ripartizione della variabile casuale geometrica.
Quindi la $P(Y <= 3) = 1 - (1 - 1/2)^(3 + 1) = 1 - 1/16 = 15/16$ Giusto???
Ma come mai se faccio la somma delle probabilità cioè $P(Y <= 3) = P(Y = 1) + P(Y = 2) + P(Y = 3) = 1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8$
viene un numero diverso?? non dovrebbero venire uguali??

E poi la $E[X^2] = (np)^2 = 25/4$ ?????

[fashionprivate]

qualcuno riuscirebbe a rispondermi?
Perchè secondo me $E[X^2] = E[X] = n*p$

[K.Lomax]

Se l'indice della geometrica parte da [tex]1[/tex] avrai [tex]P(Y\leq3)=1-(1-p)^3[/tex] e dunque si trova.

Perchè dovrebbe aversi [tex]E[X^2]=E[X][/tex] o tantomeno [tex]E[X^2]=(E[X])^2[/tex]? Ti ricordo che tra queste due quantità c'è una varianza di mezzo, ovvero

[tex]Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2[/tex]

[fashionprivate]

ok, grazie. Ma come si trova la $E[X^2]$ di una v.a. binomiale???

[fashionprivate]

ok, grazie, adesso ho capito!!!
E la $E[X^2]$ come si fa??? se $X$ è una binomiale di parametri $5$ e $1/2$

[fashionprivate]

ok, ho visto da wikipedia... grazie...