Problema con V.A. normale

[Ernesto011]

Il problame è:
La produzione annuale di penne è una variabile aleatoria normale con $mu=10000$ penne e $sigma=600$ penne.
Dopo 3 mesi, sono state prodotte $2000$ penne. Qual'è la probabilità che al termine dell'anno si producano un numero di penne che dista dalla media meno di $900$ penne?

Calcoli a parte, prima mi era venuto in mente di applicare la formula per la probabilità condizionata $P(A|B)= (P(A nn B)) / (P(B))$ ma ho l'impressione che le cose si vanno a complicare così.
Dove ovviamente:

A è l'evento "Alla fine dell'anno le penne prodotte distano da $mu$ meno di $900$ penne"
B è l'evento "Dopo $3$ mesi sono state prodotte $2000$ penne"

Poi ho cambiato strada, e ho pensato che mi basta calcolare la probabilità che in $9$ mesi ottengo un numero di penne compreso fra $mu-2000-900$ e $mu-2000+900$, e che (forse..) è uguale alla probabilità che in $12$ mesi ottengo un numero di penne compreso fra $4/3(mu-2000-900)$ e $4/3(mu-2000+900)$

Sono entrambi insensati?

[Lo_zio_Tom]

Le idee che hai avuto sono più o meno corrette ma per risolvere devi formalizzare correttamente il problema:

Posta l'indipendenza della produzione fra un trimestre e l'altro, per la proprietà di riproducibilità della gaussiana, se indichiamo con $X_i $ la produzione trimestrale, si ha che

$X_i ~N (2500;90000) $, $i=1,2,3,4$

Il testo chiede di calcolare

$P (9101<=X_1+X_2+X_3+X_4 <=10899|X_1=2000) $

Ovvero

$P (7101 <=X_2+X_3+X_4 <=8899)=$

$=Phi ((8899-7500)/sqrt (270000))-Phi ((7101-7500)/sqrt (270000))=Phi (2,6924)-Phi (-0,7679)~~0,9965-0,2213~~77.52%$