Problema con legge geometrica modificata
Ciao a tutti e Buone Feste Natalizie!! 
Mi sono imbattuta in questo esercizio e nonostante la mia soluzione sia corretta non sono sicura di aver utilizzato il metodo giusto.
Il problema è il seguente:
Un messaggio è composto da una sequenza di bit binari. Si suppone che ognuno di essi possa essere distorto (cioè mutato da 1 a 0 oppure da 0 a 1) con probabilità p, 0
a) Qual è la probabilità che un messaggio di lunghezza n giunga senza che nessun bit sia distorto?
Qui non ho avuto problemi:
$ X_i= $ 1 se il bit i-esimo è distorto, 0 altrimenti
$ X~B(n,p) $
$ p(k=0)= \(n!)/(k!(n-k)!)*p^k*(1-p)^(n-k)= (1-p)^n $
b) Qual è la probabilità che un messaggio di lunghezza N giunga senza che nessun bit sia distorto, dove ora N è una variabile aleatoria di legge geometrica modificata di parametro $\lambda$
Qui l'ho risolta in questo modo, ed è qui che non sono convintissima del procedimento che ho usato:
Ho impostato N=k e considerando che fino al k-esimo non avremo alcun dato distorto e dal k-esimo si:
$ \sum_{k=1}^\infty \lamda*(1-\lambda)^(k-1)*(1-p)^k= $
$ \sum_{k=0}^\infty \lambda*(1-\lambda)^(k)*(1-p)^(k+1) =$
$ \lambda*(1-p)*\sum_{k=0}^\infty [(1-\lambda)*(1-p)]^k= $
$ \lambda *(1-p)*1/(1-(1-\lambda)(1-p) $
Che é il risultato richiesto. Spero sia corretto,
Grazie in anticipo
Mi sono imbattuta in questo esercizio e nonostante la mia soluzione sia corretta non sono sicura di aver utilizzato il metodo giusto.
Il problema è il seguente:
Un messaggio è composto da una sequenza di bit binari. Si suppone che ognuno di essi possa essere distorto (cioè mutato da 1 a 0 oppure da 0 a 1) con probabilità p, 0
a) Qual è la probabilità che un messaggio di lunghezza n giunga senza che nessun bit sia distorto?
Qui non ho avuto problemi:
$ X_i= $ 1 se il bit i-esimo è distorto, 0 altrimenti
$ X~B(n,p) $
$ p(k=0)= \(n!)/(k!(n-k)!)*p^k*(1-p)^(n-k)= (1-p)^n $
b) Qual è la probabilità che un messaggio di lunghezza N giunga senza che nessun bit sia distorto, dove ora N è una variabile aleatoria di legge geometrica modificata di parametro $\lambda$
Qui l'ho risolta in questo modo, ed è qui che non sono convintissima del procedimento che ho usato:
Ho impostato N=k e considerando che fino al k-esimo non avremo alcun dato distorto e dal k-esimo si:
$ \sum_{k=1}^\infty \lamda*(1-\lambda)^(k-1)*(1-p)^k= $
$ \sum_{k=0}^\infty \lambda*(1-\lambda)^(k)*(1-p)^(k+1) =$
$ \lambda*(1-p)*\sum_{k=0}^\infty [(1-\lambda)*(1-p)]^k= $
$ \lambda *(1-p)*1/(1-(1-\lambda)(1-p) $
Che é il risultato richiesto. Spero sia corretto,
Grazie in anticipo
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