Problema con iniziale dei nomi
Ciao a tutti, torno con un nuovo problema, un pò più serio dei precedenti.. 
Qual è la probabilitµa che su 4 amici almeno 2 abbiano il nome che inizia con la stessa lettera? (L'alfabeto ha 26 lettere e consideriamo che esse siano equiprobabili come possibili iniziali di nomi).
Ho pensato che dovrò fare la differenza tra 1 (probabilità caso certo) e la probabilità che nessuno dei 4 bambini abbia iniziale uguale a quella degli altri 3.
I casi possibili sono $26^4$ cioè le disposizioni con ripetizione delle 26 lettere a 4 a 4.
I casi in cui nessuno dei ragazzi abbia la stessa iniziale sono tutte le combinazioni di 4 lettere (le 4 iniziali), cioè: $C(26, 4)$
MI risulterebbe $1 - (C(26,4))/(26^4)$ chiaramente sbagliato.. perchè le soluzioni proposte sono:
a) $1 - (1 - 1/(26) )(1 - 2/(26) )(1 - 3/(26))$
b) $(1 - 1/(26) )(1 - 2/(26) )(1 - 3/(26))$
c)$(26^2*25*24)/(26^4)$
d)$(((26),(2))25*24)/(26^4)$
Poi mi sono posto il problema di determinare la probabilità che ci siamo esattamente 2 ragazzi su 4 con la stessa iniziale del nome.
Ho pensato che i casi possibili sono sempre $26^4$
I casi favorevoli invece saranno: $C(4, 2)*26*C(4,1)*25*C(4,1)*24$. La prima parte sono le coppie di 2 bambini con la stessa iniziale tra le 26 lettere, poi ci sono gli altri 2 bambini che possono "scegliere" rispettivamente tra le 25 e 24 letter rimanenti.
Che ne dite ?
Qual è la probabilitµa che su 4 amici almeno 2 abbiano il nome che inizia con la stessa lettera? (L'alfabeto ha 26 lettere e consideriamo che esse siano equiprobabili come possibili iniziali di nomi).
Ho pensato che dovrò fare la differenza tra 1 (probabilità caso certo) e la probabilità che nessuno dei 4 bambini abbia iniziale uguale a quella degli altri 3.
I casi possibili sono $26^4$ cioè le disposizioni con ripetizione delle 26 lettere a 4 a 4.
I casi in cui nessuno dei ragazzi abbia la stessa iniziale sono tutte le combinazioni di 4 lettere (le 4 iniziali), cioè: $C(26, 4)$
MI risulterebbe $1 - (C(26,4))/(26^4)$ chiaramente sbagliato.. perchè le soluzioni proposte sono:
a) $1 - (1 - 1/(26) )(1 - 2/(26) )(1 - 3/(26))$
b) $(1 - 1/(26) )(1 - 2/(26) )(1 - 3/(26))$
c)$(26^2*25*24)/(26^4)$
d)$(((26),(2))25*24)/(26^4)$
Poi mi sono posto il problema di determinare la probabilità che ci siamo esattamente 2 ragazzi su 4 con la stessa iniziale del nome.
Ho pensato che i casi possibili sono sempre $26^4$
I casi favorevoli invece saranno: $C(4, 2)*26*C(4,1)*25*C(4,1)*24$. La prima parte sono le coppie di 2 bambini con la stessa iniziale tra le 26 lettere, poi ci sono gli altri 2 bambini che possono "scegliere" rispettivamente tra le 25 e 24 letter rimanenti.
Che ne dite ?
Risposte
è corretta la tua prima ipotesi, ma è sbagliato considerare le combinazioni. i casi "favorevoli" all'evento contrario sono $(26)_4=26*25*24*23$, e dunque la soluzione è la a).
spero sia chiaro. ciao.
spero sia chiaro. ciao.
certo adesso che ci penso l' uso delle disposizioni mi sembra più corretto, cioè il primo ragazzo ha a "disposizione" 26 lettere, il secondo 25, eccetera...
semplicemente non avevo proprio considerato il fatto che ogni combinazione ha varie disposizione, e non credevo fossero importanti ai fini dell' esercizio, ora ho svolto i calcoli sono giunto anch' io alla A..
Per la seconda parte hai qualche suggerimento ?
semplicemente non avevo proprio considerato il fatto che ogni combinazione ha varie disposizione, e non credevo fossero importanti ai fini dell' esercizio, ora ho svolto i calcoli sono giunto anch' io alla A..
Per la seconda parte hai qualche suggerimento ?
La doppia coppia la consideri valida ?
sulla seconda parte non so se vuoi contemplare anche il caso di due coppie di ragazzi con la stessa iniziale. mi pare di no, in base a come l'hai impostato.
non sono d'accordo con i due $C(4,1)$, perché già due sono inseriti nella prima scelta di $C(4,2)$, per cui secondo me ci andrebbe $C(2,1)$ e $C(1,1)$ rispettivamente:
la probabilità richiesta è $(((4),(2))*2*26*25*24)/26^4=(6*2*25*24)/26^3$.
ricontrolla e facci sapere. ciao.
non sono d'accordo con i due $C(4,1)$, perché già due sono inseriti nella prima scelta di $C(4,2)$, per cui secondo me ci andrebbe $C(2,1)$ e $C(1,1)$ rispettivamente:
la probabilità richiesta è $(((4),(2))*2*26*25*24)/26^4=(6*2*25*24)/26^3$.
ricontrolla e facci sapere. ciao.
"Umby":
La doppia coppia la consideri valida ?
Nella prima parte SI, perchè viene richiesta almeno una coppia, nella seconda parte invece NO perchè vorrei la probabilità di una sola coppia.
"adaBTTLS":
sulla seconda parte non so se vuoi contemplare anche il caso di due coppie di ragazzi con la stessa iniziale. mi pare di no, in base a come l'hai impostato.
non sono d'accordo con i due $C(4,1)$, perché già due sono inseriti nella prima scelta di $C(4,2)$, per cui secondo me ci andrebbe $C(2,1)$ e $C(1,1)$ rispettivamente:
la probabilità richiesta è $(((4),(2))*2*26*25*24)/26^4=(6*2*25*24)/26^3$.
ricontrolla e facci sapere. ciao.
Certo, hai intrerpretato in maniera corretta.
Si in effetti non servivano quei 2 $C(4,1)$, ero semplicemente restato con la mente al precedente esercizio sul tris, e quindi senza troppo pensarci ho scritto quella cosa. Bene ho capito finalmente.
Grazie ancora!!
prego!
"adaBTTLS":
la probabilità richiesta è $(((4),(2))*2*26*25*24)/26^4=(6*2*25*24)/26^3$.
ricontrolla e facci sapere. ciao.
perchè ci sta il *2 dopo il $((4),(2))$ ?
nelle intenzioni, il $2$ sta per $((2),(1))*((1),(1))$ come ho detto in precedenza. comunque hai fatto bene a sollevare il dubbio, perché forse non ci va.
riflettendo, il $((4),(2))$ ci dice come abbinare i due ragazzi con la stessa iniziale, e poi invece abbiamo 26*25*24 ...
ma a questo punto ti chiedo: che ne pensi del coefficiente multinomiale $((,4,),(2,1,1))$ ? andrebbe forse diviso per $2!$ ?
riflettendo, il $((4),(2))$ ci dice come abbinare i due ragazzi con la stessa iniziale, e poi invece abbiamo 26*25*24 ...
ma a questo punto ti chiedo: che ne pensi del coefficiente multinomiale $((,4,),(2,1,1))$ ? andrebbe forse diviso per $2!$ ?
Provo adare la mia soluzione:
la prob. che nessuno abbia la stessa iniziale di un'altro: $(26*25*24*23)/(26^4)$
la prob. che al massimo 2 abbiano la stessa iniziale: $(26^2*25*24)/(26^4)$
la prob. che al massimo 3 abbiano la stessa iniziale: $(26^3*25)/(26^4)$
la prob. che al massimo tutti e quattro abbiano la stessa iniziale è chiaramente $1$
da qui si può capire che:
la prob. che almeno 2 abbiano la stessa iniziale vale: $1-(26*25*24*23)/(26^4)$ che era la risposta (a)
la prob. che 3 soggetti abbiano la stessa iniziale:$(26^3*25)/(26^4)-(26^2*25*24)/(26^4)$
la prob. che 2 soggetti abbiano la stessa iniziale: $1-(26^3*25)/(26^4)$
la prob. che tutti i soggetti abbiano le stesse iniziali:$1-(26*25*24*23)/(26^4)-(1-(26^3*25)/(26^4))-((26^3*25)/(26^4)-(26^2*25*24)/(26^4))$
lo trovate convincente?
l'unica cosa che mi lascia dubbi è che la prob. che tutti abbiano le iniziali uguali ( ameno di aver sbagliato i conti) mi risulta ben maggiore della prob. che ci siano 3 con le stesse iniziali o 2 (considerati separatamente).
la prob. che nessuno abbia la stessa iniziale di un'altro: $(26*25*24*23)/(26^4)$
la prob. che al massimo 2 abbiano la stessa iniziale: $(26^2*25*24)/(26^4)$
la prob. che al massimo 3 abbiano la stessa iniziale: $(26^3*25)/(26^4)$
la prob. che al massimo tutti e quattro abbiano la stessa iniziale è chiaramente $1$
da qui si può capire che:
la prob. che almeno 2 abbiano la stessa iniziale vale: $1-(26*25*24*23)/(26^4)$ che era la risposta (a)
la prob. che 3 soggetti abbiano la stessa iniziale:$(26^3*25)/(26^4)-(26^2*25*24)/(26^4)$
la prob. che 2 soggetti abbiano la stessa iniziale: $1-(26^3*25)/(26^4)$
la prob. che tutti i soggetti abbiano le stesse iniziali:$1-(26*25*24*23)/(26^4)-(1-(26^3*25)/(26^4))-((26^3*25)/(26^4)-(26^2*25*24)/(26^4))$
lo trovate convincente?
l'unica cosa che mi lascia dubbi è che la prob. che tutti abbiano le iniziali uguali ( ameno di aver sbagliato i conti) mi risulta ben maggiore della prob. che ci siano 3 con le stesse iniziali o 2 (considerati separatamente).
scusa non ho capito come sei giunto a trovare la probabilita che 2 soggetti abbiano la stessa iniziale. Secondo me seguendo il ragionamento che hai fatto nel passaggio percedente si potrebbe fare la differenza tra la prob. che al massimo 2 abbiano la stessa iniziale e a prob. che nessuno abbia la stessa iniziale di un'altro, o no ? Senza contare che anche la prob. di 2 con la stessa iniziale è minore (secondo i tuoi calcoli) alla prob. di 3 con stessa iniziale.
"adaBTTLS":
nelle intenzioni, il $2$ sta per $((2),(1))*((1),(1))$ come ho detto in precedenza. comunque hai fatto bene a sollevare il dubbio, perché forse non ci va.
riflettendo, il $((4),(2))$ ci dice come abbinare i due ragazzi con la stessa iniziale, e poi invece abbiamo 26*25*24 ...
mbè... direi che proprio non ci va, da qui la mia domanda.
Sul multinomiale, non ce lo vedo tanto...
"markowitz":
lo trovate convincente?
non molto.... trovo diversi errori.
Provo a darti la mia risposta (eventualmente confrontale con le tue).
Casi possibili: $26^4 = 456976$
=====================
Tutte Diverse: $26*25*24*23 = 358800$
Una Coppia: $26*25*24*6 = 93.600$
Doppia Coppia: $26*25*6/2 = 1.950$
Tris: $26*25*4 = 2.600$
Poker: $26$
Se fai la somma dei vari risultati, ottieni la quadratura.
=====================
Tutte Diverse: $26*25*24*23 = 358800$
Una Coppia: $26*25*24*6 = 93.600$
Doppia Coppia: $26*25*6/2 = 1.950$
Tris: $26*25*4 = 2.600$
Poker: $26$
Se fai la somma dei vari risultati, ottieni la quadratura.
Si stefano _89 ha ragione, nell'ultimo messaggio inviato ho fatto confusione, sbagliando (sicuramente) le ultime due probabilità che secondo il mio ragionamento non dovevano essere quelle.
In definitiva:
prob. che non ci siano nomi con le stesse iniziali=$(26*25*24*23)/26^4 =0,78516...$(sulla quale si è tutti d'accordo!)
prob. che ci siano 2 nomi con le stesse iniziali= $(26^2*25*24-26*25*24*23)/26^4=0,10241...$
prob. che ci siano 3 nomi con le stesse iniziali= $(26^3*25-26^2*25*24)/26^4=0,07396...$
prob. che tutti e quattro i nomi abbiano le stesse iniziali= $1-((26^3*25)/24^4)=0,03846...$
adesso le prob. hanno, anche a prima vista, un andamento coerente.
per quanto riguarda le soluzioni di Umby coincide solo quella del primo caso (no iniziali uguali)
ma gli altri 3 casi sono diversi, ragionando per combinazioni a me risultano: 2 iniziali uguali $46800$ casi; 3 iniziali uguali $33800$ casi; tutte le iniziali uguali $17576$ casi.
Le mie soluzioni potrebbero anche essere sbagliate ma, anche se non sono sicuro di aver ben capito il ragionamento di Umby, la cosa che mi convince meno è che si sostiene che i casi possibili in cui ci siano tutte le iniziali uguali sono solamente $26$ secondo me troppo poche, perchè allora quante sarebbero quelle in cui sono uguali la prima e la seconda lettera?; e quelle in cui sono uguali le prime 3?; è ovvio che il caso in cui siano uguali tutte le lettere (tutti hanno lo stesso nome!) è solo $1$ quindi si verifica con pro. $1/26^4)$ possibile che in termini probabilistici ci sia così poca differenza in questi ultimi casi consierati? Mi sembra poco plausibile.
In definitiva:
prob. che non ci siano nomi con le stesse iniziali=$(26*25*24*23)/26^4 =0,78516...$(sulla quale si è tutti d'accordo!)
prob. che ci siano 2 nomi con le stesse iniziali= $(26^2*25*24-26*25*24*23)/26^4=0,10241...$
prob. che ci siano 3 nomi con le stesse iniziali= $(26^3*25-26^2*25*24)/26^4=0,07396...$
prob. che tutti e quattro i nomi abbiano le stesse iniziali= $1-((26^3*25)/24^4)=0,03846...$
adesso le prob. hanno, anche a prima vista, un andamento coerente.
per quanto riguarda le soluzioni di Umby coincide solo quella del primo caso (no iniziali uguali)
ma gli altri 3 casi sono diversi, ragionando per combinazioni a me risultano: 2 iniziali uguali $46800$ casi; 3 iniziali uguali $33800$ casi; tutte le iniziali uguali $17576$ casi.
Le mie soluzioni potrebbero anche essere sbagliate ma, anche se non sono sicuro di aver ben capito il ragionamento di Umby, la cosa che mi convince meno è che si sostiene che i casi possibili in cui ci siano tutte le iniziali uguali sono solamente $26$ secondo me troppo poche, perchè allora quante sarebbero quelle in cui sono uguali la prima e la seconda lettera?; e quelle in cui sono uguali le prime 3?; è ovvio che il caso in cui siano uguali tutte le lettere (tutti hanno lo stesso nome!) è solo $1$ quindi si verifica con pro. $1/26^4)$ possibile che in termini probabilistici ci sia così poca differenza in questi ultimi casi consierati? Mi sembra poco plausibile.
scusate ho sbagliato non sappiamo di quante lettere sono i nomi però, forse, il ragionamento vale lo stesso; o no?
"markowitz":
per quanto riguarda le soluzioni di Umby coincide solo quella del primo caso (no iniziali uguali)
mi aspettavo che almeno quella sul poker, tu fossi d'accordo con me..
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