Problema con il teorema del limite centrale
Ho provato a risolvere quest'esercizio ma non mi trovo con il risultato della varianza che dovrebbe uscire uguale a 6,16
Stimare il più piccolo k naturale affinchè in cento lanci di un dado equo la somma dei risultati ottenuti sia compresa tra 350 − k e 350 + k con probabilita’ maggiore o uguale a 0.9.
Mi sono calcolato $M(X) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5 $
E poi la varianza $V(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 2,91 $
Poi ho applicato il teorema del limite centrale
$ 350-k= 0,9 $ da cui poi posso calcolarmi k.
Il problema è appunto che non mi trovo con la varianza che di conseguenza mi va a modificare anche gli estremi dell'integrale
Stimare il più piccolo k naturale affinchè in cento lanci di un dado equo la somma dei risultati ottenuti sia compresa tra 350 − k e 350 + k con probabilita’ maggiore o uguale a 0.9.
Mi sono calcolato $M(X) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5 $
E poi la varianza $V(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 2,91 $
Poi ho applicato il teorema del limite centrale
$ 350-k
Il problema è appunto che non mi trovo con la varianza che di conseguenza mi va a modificare anche gli estremi dell'integrale
Risposte
Sinceramente non ho capito che problemi incontri . Hai fatto tutto per bene solo che l'integrale non serve ma basta prendere i quantili sulle tavole e fare
$(350+k-350)/sqrt (100*2,92)=1,645$
$rarr k=ceil (28,1)=29$
Ovvero con probabilità $>=90%$ la somma dei dadi sarà compresa fra 321 e 379
Intervalli di questo tipo se ne potrebbero costruire $oo $ . Questo però è quello con il k minimo, dato che l"intervallo costruito è simmetrico rispetto alla media e quindi , a parità di ampiezza dell" intervallo, concentra la massima probabilità.
Ecco la rappresentazione grafica del tuo quesito
devi solo cercare i punti indicati con ?; anzi uno solo dei due, dato che sono simmetrici...e li trovi subito con la formula
$(Y-mu)/sigma=z$
ovviamente il 28.1 va arrotondato a 29 perché altrimenti con 28 avremmo meno del 90% di probabilità.
Puoi anche fare una controprova
$P(321<=S_x<=379)=P(-1.698<=Z<1.698)~~91.1%$
mentre con k=28 otterresti
$P(322<=S_x<=378)=P(-1.6395<=Z<1.6395)~~89.9%$
ora dovrebbe esser tutto chiaro
Ps: varianza pari a 6.16? Non so proprio a cosa tu ti riferisca. La varianza del lancio di un singolo dado viene $2.91666~~2.92$ come hai giustamente calcolato; la varianza di $sum_i X_i$, per la proprietà di riproducibilità della gaussiana viene $100*2.92$ e pure qui non vi sono dubbi, dato che è proprio il quadrato del denominatore del TLC......fammi sapere se hai capito
$(350+k-350)/sqrt (100*2,92)=1,645$
$rarr k=ceil (28,1)=29$
Ovvero con probabilità $>=90%$ la somma dei dadi sarà compresa fra 321 e 379
Intervalli di questo tipo se ne potrebbero costruire $oo $ . Questo però è quello con il k minimo, dato che l"intervallo costruito è simmetrico rispetto alla media e quindi , a parità di ampiezza dell" intervallo, concentra la massima probabilità.
Ecco la rappresentazione grafica del tuo quesito
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
devi solo cercare i punti indicati con ?; anzi uno solo dei due, dato che sono simmetrici...e li trovi subito con la formula
$(Y-mu)/sigma=z$
ovviamente il 28.1 va arrotondato a 29 perché altrimenti con 28 avremmo meno del 90% di probabilità.
Puoi anche fare una controprova
$P(321<=S_x<=379)=P(-1.698<=Z<1.698)~~91.1%$
mentre con k=28 otterresti
$P(322<=S_x<=378)=P(-1.6395<=Z<1.6395)~~89.9%$
ora dovrebbe esser tutto chiaro
Ps: varianza pari a 6.16? Non so proprio a cosa tu ti riferisca. La varianza del lancio di un singolo dado viene $2.91666~~2.92$ come hai giustamente calcolato; la varianza di $sum_i X_i$, per la proprietà di riproducibilità della gaussiana viene $100*2.92$ e pure qui non vi sono dubbi, dato che è proprio il quadrato del denominatore del TLC......fammi sapere se hai capito
Grazie mille sei stato chiarissimo, il risultato del mio professore portava varianza uguale a 6,16 e non riuscivo a spiegarmelo,quindi pensavo mi stesse sfuggendo qualcosa. Gentilissimo,grazie ancora
Il prof ha semplicemente scritto V(X) = 6,16 , la variabile è sempre quella visto anche che M(X) era proprio uguale a 3,5. Avrà fatto un errore di calcolo, capita a tutti 
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