Problema con densità di variabili casuali

[Rabelais]

Salve, studiando mi sono imbattuto nel seguente esercizio (con $chi$ si indica la funzione indicatrice)

Siano $X$ e $Y$ due v.c. indipendenti con densità $f_X(x)=1/x^2*chi_{[1,+infty)}(x)$ e $f_Y(y)=1/y^2*chi_{[1,+infty)}(y)$.
Trovare le densità di $X*Y$ e $X/Y$.

Essendo le variabili indipendenti allora la densità di $(X,Y)$ è data dal prodotto di quella di $X$ con quella di $Y$.
Troviamo $f_{(X*Y,X//Y)}(u,v)$ con il cambio di variabile
$\{(varphi(x,y)=(xy,x/y)),(varphi:D rarr RR^2):}$ dove $D={(x,y) in RR^2:x>=1, y>=1}$.
Allora $varphi:D rarr D'={(u,v) in RR^2: u>=1,v>0,u/v>=1,uv>=1}$ è un diffeomorfismo, invertendo si ottiene $varphi^(-1)(u,v)=(sqrt(uv),sqrt(u/v))$.
Dunque (saltando i calcoli della jacobiana) si ottiene $|J varphi^(-1)(u,v)|=1/(2v)$.
Si ha allora $f_{(X*Y,X/Y)}(u,v)=1/(uv)*v/u*1/(2v)*chi_{D'}(u,v)=1/(2u^2v)*chi_{D'}(u,v)$.
Per trovare le densità richieste penso si debba procedere così:
$f_{X*Y}(u)=1/(2u^2)*chi_{[1,+infty)}* \int_{0}^{u} 1/v dv=1/(2u^2)*chi_{[1,+infty)}*[log(u)-log(0)]=+infty ?$
$f_{X//Y}(v)=1/(2v)*chi_{(0,+infty)}*\int_{v}^{+infty} 1/u^2 du=1/(2v)*chi_{(0,+infty)}*[0+1/v]=1/(2v^2)*chi_{(0,+infty)}$

Dato che la prima densità risulta infinito penso di aver commesso qualche errore nel calcolare il codominio $D'$ del diffeomorfismo, ovvero di aver sbagliato qualcosa tra $u>=1,v>0,u/v>=1,uv>=1$.
Se poteste aiutarmi ne sarei molto grato, grazie!

[Lo_zio_Tom]

ciao.

i tuoi risultati sono purtroppo sbagliati...anche la seconda è sbagliata e lo vedi subito dato che non è integrabile in zero.

Il modo più semplice ed efficace (ed anche più elegante) per affrontare questo tipo di funzioni di variabili aleatorie è quello di calcolare la CDF della variabile trasformata tramite la definizione. Il metodo della matrice jacobiana funziona lo stesso ma evito di farlo (troppo macchinoso e poco intuitivo) se non strettamente necessario. E' un metodo molto utile per altri scopi, non per calcolare questo tipo di trasformazioni.
In questo caso, utilizzando la definizione di CDF otteniamo:


$F_(Z)(z)=P(Z<=z)=intint_(A)f(x,y)dxdy$

dove $A$ è la regione di piano $g(X,Y)<=z$


Prendiamo ad esempio il primo caso: $Z=XY$

basta risolvere il seguente integrale


$F_(Z)(Z)=P(Z<=z)=P(XY<=z)=P(Y<=z/X)=int_(1)^(z)1/x^2dxint_(1)^(z/x) 1/y^2 dy=...=[1-1/z-log(z)/z]I_([1:+oo))(z)$

La densità la trovi poi derivando la CDF



Il secondo caso è un po' più articolato ma ragionando nello stesso modo risolvi facilmente. La difficoltà del secondo esempio è che, al variare di z nel suo supporto, varia anche la forma del dominio di integrazione...

Vediamo come fare: innanzitutto osserviamo che la variabile $Z in (0;+oo)$

dobbiamo dividere due casi

1) $0
$F_(Z)(z)=P(Z<=z)=int_(1/z)^(+oo)1/y^2dyint_(1)^(zy)1/x^2dx=...=z/2$



2) $z>1$

$F_(Z)(z)=P(Z<=z)=1-int_(1)^(+oo)1/y^2dyint_(zy)^(+oo)1/x^2dx=...=1-1/(2z)$

Quindi in forma compatta otteniamo

$F_(Z)(z)=z/2 I_((0;1])(z)+(1-1/(2z))I_((1;+oo))(z)$

ed anche qui derivando ottieni subito la densità desiderata

[Rabelais]

Grazie mille per la risposta esaustiva tommik!! (chiedo scudo per il condizionale)

Quindi le due densità sono queste ?
1 $[1/z^2+(log(z)-1)/z^2]*(fn caratteristica)$
2 $1/2*(fn caratteristica) + 1/(2z^2)*(fn caratteristica)$

Interessante il tuo metodo, il nostro prof non ce ne ha mai parlato, e ho paura che possa fare storie se facciamo diversamente da come ha insegnato (anche se, lo so, l'importante è arrivare al risultato).

Ho qualche domanda, se possibile.
Non ho capito come trovare gli estremi di integrazione con il tuo metodo:
prima densità
$x$ da $1$ a $z$
$y$ da $1$ a $z/x$
seconda densità
primo caso
$y$ da $1/z$ a $+infty$
$x$ da $1$ a $zy$
secondo caso
$y$ da $1$ a $+infty$
$x$ da $zy$ a $+infty$

Poi, perché per la seconda densità studi due casi ?

Poi, ci sono altre "regole" (come quella dei due casi) da seguire ad esempio se devo calcolare la densità di $Y-sqrt(X)$ oppure $X/Y^2$ oppure $X^2+Y^2$ (non in questo, ma in altri esercizi) ?

Scusa per le tante domande, grazie ancora!

[Lo_zio_Tom]

Come trovare gli estremi di integrazione nel primo caso? basta fare il grafico del dominio di integrazione (quello che ho indicato con $A$) che è il seguente:

$F(z)=P(Z


se hai una minima dimestichezza con gli integrali doppi non dovresti avere problemi...

Il secondo esempio è più articolato.


$F(z)=P(Z


come puoi notare, al variare di z, il dominio cambia di forma..e quindi è necessario spezzare il calcolo in due casi. Inoltre, per $z>1$ è più comodo integrare l'area rossa, ottenendo $P(Z>z)$ è poi fare il complemento a uno...piuttosto che integrare l'area grigia con una partizione....ma qui è solo questione di gusti.

Vediamo di spiegarlo anche con il metodo del tuo prof...che secondo me è il metodo peggiore...anyway

abbiamo una densità congiunta $f(x,y)=1/(x^2y^2)I_([1;oo))(x)I_([1;oo))(y)$

e cerchiamo la densità di $U=X/Y$

impostiamo il seguente sistema

${{: ( u=x/y ),( v=x ) :} rarr {{: ( x=v ),( y=v/u ) :}$

a conti fatti $f_(u,v)\cdot|J|=1/v^3$

ora osserviamo che $1
1) se $0
$f_(u)=int_(1)^(oo)1/v^3dv=...=1/2$

2) se $u>1$ allora affinché $v/u>1$ è necessario che $v>u$ e di conseguenza

$f_(u)=int_(u)^(oo)1/v^3dv=...=1/(2u^2)$

...come vedi anche con questo metodo il risultato è sempre lo stesso.

A questo punto penso che tu sia in grado di risolvere da solo il primo esempio che è molto più semplice.

Comunque in questa stanza ho risolto personalmente almeno un centinaio di esempi di trasformazione di variabili

***********************
Ecco alcuni link

1

2

3

4


già con questi link (e quelli ad essi collegati che troverai indicati) hai parecchio materiale su cui riflettere

spero di esserti stato utile.

buon lavoro

[Rabelais]

Ti ringrazio veramente tanto ora mi è molto più chiaro come trasformare il dominio su cui integrare.
Prima di provare a fare la prima parte e gli esercizi che mi hai consigliato volevo chiederti due ultime cose.
Perché nel secondo caso consideri $u>1$ invece che $u>=1$ ?
Poi, non pensavo la scelta per assegnare x e y quando si imposta il sistema fosse arbitraria! Confermi? Io avrei impostato: $u=x/y$ e $v=y$ (invece che $v=x$) ma poi il risultato finale in effetti viene uguale (ovviamente cambia la jacobiana e leggermente il dominio di integrazione).
Ti ringrazio ancora del preziosissimo aiuto!

[Rabelais]

$\{(x=u),(xy=v):} rarr \{(x=u),(y=v/u):}$
$|J\varphi^(-1)(u,v)|=1/u rarr f_{u,v}=1/(uv^2)$
Dal dominio si ottiene $1<=u<+infty$ e $1<=v/u<+infty$ da cui direi che segue $v>=u$.
Procedo
$f_{XY}(v)=1/(v^2)I_{[u,+infty)} \int_{1}^{v} 1/u du=log(v)/(v^2)I_{[u,+infty)}$.
So che nella funzione indicatrice $v$ va andrebbe 1 a infinito come hai scritto nella tua soluzione, ma non riesco a dedurlo dal dominio, sapendo poi che $v$ deve essere maggiore di $u$ altrimenti non è verificata la condizione $1<=v/u<+infty$.
Mi perdo in un bicchier d'acqua

[Lo_zio_Tom]

"Rabelais":
Mi perdo in un bicchier d'acqua

Vedi tu...

E' tutto corretto. Il dominio di $ v $ si ricava direttamente dalla definizione $ v=xy>=1$

La condizione $u

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[Rabelais]

"tommik":[quote="Rabelais"]
Mi perdo in un bicchier d'acqua

... definizione $ v=xy>=1$[/quote]

Ma $xy>=1$ poiché sia $x$ che $y$ sono entrambi $>=1$ ?