Problema con densità condizionata

[antonn]

Carissimi
Ho un problema con un esempio delle dispense del mio docente riguardo la densità condizionata. Riporto pari pari:

" Sia Y una v.a. esponenziale di parametro $ lambda >0 $ . Se Y=y, allora X|Y=y è a v.a. esponenziale di parametro 1/y "

Ma perchèèè ??? A me l'unica cosa che viene in mente è che X|Y=y abbia valore atteso pari a y ed essendo il valore atteso l'inverso del parametro, si ottiene quanto scritto dal testo, ma la cosa non mi convince per nulla. Qualcuno ha un faro per illuminarmi ??

[Lo_zio_Tom]

nel tuo problema manca sicuramente qualche informazione relativa alla variabile X o alla densità congiunta $(X,Y)$. Riporta per bene tutto il contesto che vediamo di risolvere....magari è scritto nelle pagine precedenti o ci sono dei riferimenti ad altre informazioni, esercizi o esempi fatti precedentemente nella dispensa

Oppure ancora ciò che hai scritto sono in realtà i dati di un problema.....

$f_(Y)(y)=lambdae^(-lambday)$

$f_(X|Y)(x|y)=1/ye^(-x/y)$

e devi calcolare qualche cosa...ad esempio la media e varianza di X, che vengono $1/lambda$ e $3/lambda^2$, rispettivamente

Ciò che è certo è che dal solo fatto che Y sia un'esponenziale non si può dire nulla sulla distribuzione di un'altra variabile X né della stessa variabile X condizionata ad Y=y....e mi pare anche una cosa evidente.

[antonn]

$ f_(Y|X) (y|x)=λexp(-λy) $$ f_(Y|X) (y|x)=λexp(-λy) $$ / $

"tommik":nel tuo problema manca sicuramente qualche informazione relativa alla variabile X o alla densità congiunta $(X,Y)$. Riporta per bene tutto il contesto che vediamo di risolvere....magari è scritto nelle pagine precedenti o ci sono dei riferimenti al altre informazioni

Ok allora facciamo così: riporto per intero tutto il paragrafo, comprendendo anche l'esempio:

"[size=150]Densità e media condizionata[/size]

Nei paragrafi precedenti siamo riusciti a studiare alcune distribuzioni bidimensionali, grazie all'indipendenza delle v.a. considerate.
Quando siamo in presenza di due v.a. X ed Y non necessariamente indipendenti, ma dotate di funzione di densità congiunta
$f_(X,Y) (x,y)$ , possiamo definire, come nel caso discreto, la densità condizionale di Y dato X come
$f_(Y|X) (y|x) =f_(X,Y) (x,y)/f_X(x) $
Per i valori di x tali che $f_X(x) $ $!=0$
Per ogni x fissato, questa è una densità a tutti gli effetti, infatti verifica
1) $f_(Y|X) (y|x)>=0 $ in quanto rapporto tra un numeratore maggiore od uguale a zero e un denominatore positivo
2) Per ogni x fissato, si ha

$\int_Rf_(Y|X) (y|x)dy=\int_Rf_(X,Y) (x,y)/f_X(x)dy=1/f_X(x)\int_Rf_(X,Y) (x,y)dy=1/f_X(x)f_X(x)=1 $

Leggendo la relazione appena scritta al contrario, essa diventa uno strumento per calcolare la densità congiunta e le marginali.
Esempio
Sia Y una v.a. esponenziale di parametro λ>0 . Se Y=y, allora X|Y=y è a v.a. esponenziale di parametro 1/y
Possiamo calcolare la densità congiunta
$f_(Y|X) (y|x)=λe^(-λy)1_(((0,+infty)))(y)1/ye^(-1/yx)1_(((0,+infty)))(x)$
dalla quale possiamo calcolare l'altra densità marginale
$f_X(x)=\int_0^(+infty)λe^(-λy)1_(((0,+infty)))(y)1/ye^(-1/yx)1_(((0,+infty)))(x)dy $
Questo è proprio tutto, al completo. L'unica cosa che non mi è chiara è il passaggio del post, il resto l'ho capito. Ho consultato i vari Baldi, Sheldon Ross, Weiss, Dall'Aglio ma non ne sono uscito

[Lo_zio_Tom]

Sì ok, tutto chiaro.

"antex":
Leggendo la relazione appena scritta al contrario, essa diventa uno strumento per calcolare la densità congiunta e le marginali.
Esempio
Sia Y una v.a. esponenziale di parametro λ>0 . Se Y=y, allora X|Y=y è a v.a. esponenziale di parametro 1/y
Possiamo calcolare la densità congiunta
$f_(Y|X) (y|x)=λe^(-λy)1_(((0,+infty)))(y)1/ye^(-1/yx)1_(((0,+infty)))(x)$
dalla quale possiamo calcolare l'altra densità marginale
$f_X(x)=\int_0^(+infty)λe^(-λy)1_(((0,+infty)))(y)1/ye^(-1/yx)1_(((0,+infty)))(x)dy $

Banalmente ci sono due evidenti refusi nel testo dell'esempio (fallo presente al prof ma vedrai che è così...)

Leggendo la relazione appena scritta al contrario, essa diventa uno strumento per calcolare la densità congiunta e le marginali.
Esempio
Sia Y una v.a. esponenziale di parametro λ>0 . Allora se X|Y=y è a v.a. esponenziale di parametro 1/y
possiamo calcolare la densità congiunta
$f_(XY) (x,y)=λe^(-λy)1_(((0,+infty)))(y)1/ye^(-1/yx)1_(((0,+infty)))(x)$
dalla quale possiamo calcolare l'altra densità marginale
$f_X(x)=\int_0^(+infty)λe^(-λy)1_(((0,+infty)))(y)1/ye^(-1/yx)1_(((0,+infty)))(x)dy $

Refuso 1: mancava sicuramente un "se" nella traccia

Refuso 2: la distribuzione congiunta non può essere $f_(Y|X)$ come hai scritto ma per forza di cose $f_(XY)(x,y)$

in pratica ti dice che, conoscendo le due distribuzioni, una marginale Y e la condizionata $X|Y$ puoi moltiplicarle e trovare la congiunta...successivamente integri su tutto il supporto di Y (integra infatti in $dy$) e trovi l'altra marginale $f_(X)(x)$

In altri termini, dalla conoscenza di $f_(XY(x,y)$ puoi risalire alle marginali e alle condizionate.

Dalle due marginali NON puoi risalire alla congiunta a meno che le variabili siano indipendenti o sia nota la struttura di dipendenza, ad esempio tramite la conoscenza di una delle due condizionate (che è poi il tuo esempio)


Io avevo già fatto un passo oltre....calcolare direttamente media e varianza di X senza passare per la sua marginale...hai provato a farlo? ti ho messo anche i risultati per controllo

buon lavoro (se ne hai voglia è un buon esercizio, molto didattico)

[antonn]

Intanto mille grazie, avevo anche io il sospetto del refuso n°2. Quello che continuo a non capire è come ottiene la condizionata:

$ f_(X|Y)(x|y)=1/ye^(-x/y) $

e soprattutto perché il parametro è 1/y

Il resto dei passaggi lo avevo chiaro (ps. inizio subito farmi l'esercizio che mi hai proposto !)

[Lo_zio_Tom]

"antex":continuo a non capire è come ottiene la condizionata e soprattutto perché il parametro è 1/y

Infatti non la ottiene. E' un dato.

Esempio: Date le seguenti variabili

$f_Y(y)~Exp(lambda)$

$f_(X|Y)(x|y)=Exp(1/y)$

calcolare

$E[X]$

$V[X]$

Ovviamente la distribuzione condizionata dipende dalla variabile che condiziona....quindi il parametro sarà in funzione di y...in questo caso $1/y$

Forse non hai letto bene ciò che ho scritto....non è possibile ottenere la distribuzione congiunta partendo dalle due marginali a meno che

1) le variabili siano indipendenti (nel qual caso moltiplichi le due marginali)

2) sia nota la struttura della dipendenza che le lega....nel tuo esempio la struttura di dipendenza è catturata dalla distribuzione condizionata.... $X|Y=y$ che si distribuisce come una esponenziale di parametro $1/y$

Al contrario, è sempre possibile ottenere le due marginali nota la distribuzione congiunta perché la congiunta ingloba anche tutta la struttura di dipendenza

[antonn]

Davvero grazie di nuovo !! Non sapevo come uscirne !!