Problema con combinaz di v.c.

[Gandalf73]

Carissimi,
ho un problema in un calcolo in cui mi trovo una combinazione non lineare di v.c.
Stabilita essa pari a :

$Z = 2⋅X - X⋅Y -3$,

supposte $X,Y$ indipendenti,
assegnati poi :

$\langle X \rangle =2$,
$\langle Y \rangle =3$,
$\sigma(X) = 1$,
$\sigma(Y) = 2$.

Calcolare la deviazione standard di $Z$
Sappiamo che:

$Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2⋅Cov (X,Y)$

e che

$Var(X⋅Y) = Var(X)⋅Var(Y) + (E(Y))^2⋅Var(X) + (E(X))^2⋅Var(Y)$.

Fissata $T=X⋅Y$
si tratterebbe di mettere insieme le due informazioni, di calcolare:

$Var(Z) = 4⋅Var(X) + Var(T) - 2⋅Cov(X,T)$

e successivamente estrarne la radice quadrata.

Eppure qualcosa non va nel mio ragionamento.
Il termine:

$Cov (X,T)$ con $T=X⋅Y$

non dovrebbe essere pari a zero perchè trattasi di variabili indipendenti?
Il coefficiente moltiplicativo (2) davanti la mia v.c. $X$ andrebbe elevato al quadrato?
C'è qualcuno che mi potrebbe aiutare ad uscire dal guado?
Un saluto ed un grazie a tutti
A.

[Lo_zio_Tom]

cosa significa questo simbolo?

"Gandalf73":

$\langle X \rangle =2$,

**********************

"Gandalf73":
$Cov (X,T)$ con $T=X⋅Y$

non dovrebbe essere pari a zero perchè trattasi di variabili indipendenti?

$X$ e $Y$ sono indipendenti.....quindi $X$ e $T$ non lo sono, essendo per l'appunto $T=XY$

******************

Il problema è risolvibile facilemente ricordando che l'indipendenza di $X$ e $Y$ si estende anche a $X^2$ e $Y^2$

e quindi

$V(2X-XY)=4V(X)+E(X^2Y^2)-E^2(X)E^2(Y)-4Cov(X;XY)=$

$=4sigma_(X)^2+(sigma_(X)^2+mu_(X)^2)(sigma_(Y)^2+mu_(Y)^2)-mu_(X)^2mu_(Y)^2-4E{[X-mu_(X)][XY-mu_(X)mu_(Y)]}$

ecc ecc....è solo questione di fare i conti e semplifcare ove possibile

[Gandalf73]

Ciao e grazie infinite per la risposta.
Passo subito alla precisazione richiesta:

$\langle X \rangle =2$, è inteso come $E(X)$.

Perdonami ma ho alcune piccole domande che mi aiuteranno a capire.
Mi dici che la covarianza di $(X,T)$
non è nulla ma non riesco a capire dove essa venga presa in considerazione.
Prendendo in esame la relazione la seguente :

$ Var(Z) = 4Var(X) + Var(XY) - Cov(X,XY) $

Se non erro il termine "-3" scompare corretto?
Il seguente

$ E(X^2)E(Y^2) $

è pari a

$ (sigma_(X)^2+mu_(X)^2) (sigma_(Y)^2 + mu_(Y)^2) $ ?

Un saluto ed un grazie per il preziosissimo supporto
A.
ps scusami ma per una oscura ragione nel rispondere mi è stato tranciato il succo della tua risposta.Me lo inseriresti di nuovo?Sigh....

[Gandalf73]

Risolto l'arcano.
Non vedevo le relazioni perchè si stava modificando la risposta stessa ed infine nella risposta mancava la parte che mi portava in confusione .
L'ultima relazione non mi pare sia banale però. C'è qualche formula veloce che mi permetta di semplificare?
Un saluto ed un grazie ancora
A.

[Lo_zio_Tom]

il termine 3 scompare in quanto

$V(X+a)=V(X)$

Dalla definizione di varianza: $V(X)=E(X^2)-E^2(X)$ si ricava subito il momento secondo come somma della varianza più la media al quadrato.


la covarianza si deve prendere in considerazione in quanto

$V(aX+-bY)=a^2V(X)+b^2V(Y)+-2abCov(X,Y)$


$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$.

se le variabili sono indipendenti vale $E(XY)=E(X)E(Y)$ e quindi anche $cov=0$

in questo caso le variabili sono $X$ e $XY$ quindi è ovvio che dipendano una dall'altra....

"Gandalf73":
L'ultima relazione non mi pare sia banale però. C'è qualche formula veloce che mi permetta di semplificare?
.

certo che c'è....ma speravo che te ne accorgessi da solo

$Cov(X,XY)=E(X^2Y)-E(X)E(XY)=E(X^2)E(Y)-E(X)E(X)E(Y)=(sigma_(X)^2+mu_(X)^2)mu_(Y)-mu_(X)^2mu_(Y)=sigma_(X)^2mu_(Y)$

le numerose modifiche sono dovute al fatto che ho la linea molto ballerina....devo postare il messaggio e poi modificarlo...altrimenti spesso perdo quanto scritto