Problema cambiamento di variabile

[merendina_891]

Salve a tutti ragazzi devo svolgere questo esercizio e ho un piccolo dubbio verso la fine.

Si consideri la variabile aleatoria X con media nulla e varianza 4. Determinare analiticamente e graficamente $ Fy(y) $ se $ y=g(x) $ e $ g(x)=x - 2 $.
Dove $ g(x) $ è una funzione semiretta, definita per $ x=>2 $ e nulla altrove
Ho risolto nella seguente maniera:
Per prima cosa individuato la funzione Gaussiana la quale risulta essere:

$ fx= 1/ sqrt [(2pi)*4] * exp (-x^2/8) $

Detto questo sapendo che $ g(x) = x - 2 $ e sapendo che g(x) è una funzione monotona (ove definita,ovvero per $ x>2 $) allora:

$ fy(y) = (fx(x1))/ |g'(x1)|$

da cui ottengo:

$ fy= 1/sqrt(2pi*4) e^(-(y+2)^2/8) =1/sqrt(2pi*4) exp(-(y+2)^2/8) $

Ora,poiché l'esercizio mi richiede $ Fy $ ricorro alla funzione $ erf $ degli errori.

Genericamente,questa dovrebbe risultare:

$ Fy= 1/2 + erf [(y+2)/2] $

Mi chiedo però,è corretto il mio risultato,o lo devo limitare solo per certi valori di y rispettivamente??
Lo chiedo perché la mia funzione $ g(x) $ di partenza era definita solamente per $ x>=2 $
Infatti,ricordo che:

$ g(x) = {(0),(x-2) :}$
La funzione $ g(x) $ è una semiretta nulla nell'intervallo $(-infty,2)$ e definita dalla equazione $ x-2$ nell'intervallo $ [2,infty)) $.

Detto questo,il mio dubbio è relativo alla fine dell'esercizio,proprio sul risultato riguardante la $ Fy $ per il motivo che vi ho detto,ovvero che la mia $ g(x) $ non è definita in tutto il dominio di x,ma bensì solo per quei valori al di sopra di 2.

Vi ringrazio anticipatamente per la vostra attenzione e mi scuso per il disturbo.
Buona giornata e buon fine settimana a tutti.

[Marcokkx]

Io agirei diversamente. Premetto che sto studiando per questo esame, quindi prendi tutto con il beneficio del dubbio.
Tu hai che la v.a. X è una gaussiana con media nulla e varianza 4 della quale hai già scritto la pdf correttamente. Inoltre sai che la v.a. Y è ottenuta mediante una trasformazione lineare g(x) tale che Y=X-2. Adesso tu cerchi la CDF di y. Innanzitutto ti consiglio di trovare la CDF di X mediante la funzione G(X). In particolare:
$ F_X(x)=G((x-0)/4) $
ovviamente ci sono le tabelle della funzione G(X) per trovare il risultato, se non si è capito 0 è la media e 4 è la varianza di X.
Adesso scriverei:
$ F_Y(y)= P(Y Sapendo quanto vale la CDF di X, la CDF di Y varrebbe:
$ F_Y(y)=F_X(y-2)=G((y-2-0)/4) $
risultato che trovi sempre mediante la tabella.

Spero di esserti stato in qualche modo d'aiuto, e ti chiedo scusa se ho dato qualche informazione sbagliata.