Problema calcolo distribuzione stimatore e test statistico

[Mauro902]

Ciao ragazzi, vi scrivo perche tra pochi giorni avrò un esame di statistica metodologica, e per quanto mi sforzi di capire certe cose, non riesco a svolgere questi esercizi, mi fermo sempre in quei punti, quindi volevo chiedere a voi, un aiuto, in modo da sbloccarmi.. vi prego!!! =(

l'esercizio, è il seguente.

ho una funzione $f(y,theta)=theta/(2*sqrt(y))*e^(-theta*sqrt(y)) $ , e devo calcolare i seguenti punti:

(a) Si indentifichino lo spazio campionario e lo spazio parametrico.
e non so farlo, qualcuno mi spiega cosa devo fare?
(b) Si scriva la funzione di verosimiglianza e log-verosimiglianza per .
e questa l'ho calcolata, e viene $ L(theta)=theta^n*e^(-theta*sum(sqrt(yi)) $
ed $ l(theta)=n*ln(theta)-theta*sum(sqrt(yi) $
(c) Dopo aver dato la definizione di statistica suciente, si individui una statistica sufficiente per l’inferenza
su .
e condizione necessaria e sufficiente affinche una statistica sia sufficiente, e che possa essere scritta come $ f(y1,..,yn,theta)=g(t,theta)*h(y1,..,yn) $ , e in questo caso la produttoria è una statistica sufficiente.
(d) Con i dati (0:5041; 0:1089; 0:9801; 0:1849; 0:0081), si calcoli la stima di massima verosimiglianza, per theta
e calcolata fa $ theta max=n/sum(sqrt(yi)) $ 1.96

----- e da qui in poi non so nemmeno da dove partire...
come faccio a ricavare la distribuzione esatta? e gli altri punti??

(e) Si ricavi la distribuzione esatta dello stimatore di massima verosimiglianza.

(f) Se b  indica lo stimatore dimassima verosimiglianza si individui una funzione di b  e  avente distribuzione
nota e indipendente da .
(g) Si ottenga un intervallo di confidenza di livello esatto 0.95 per .
(h) Si calcoli l’informazione osservata per  e si ottenga un’approssimazione per la distribuzione dello
stimatore di massima verosimiglianza.
(i) Si determini un intervallo di confidenza per  con livello 0.95, basato sulla distribuzione approssimata
dello stimatore di massima verosimiglianza. Si confronti l’intervallo cos` ı ottenuto con l’intervallo di
livello esatto 0.95 ottenuto precedentemente, commentando i risultati.


Grazie fin da ora per l'aiuto

Mauro

[DajeForte]

a) la $f$ deve essere non negativa ed avere integrale su $RR$ uguale a 1. Che condizioni tiri fuori su $theta$ ed $y$?

b) Giusto

c) la statistica sufficiente è la Somma delle radici.

d) $\hat theta \ =\ n/(sum_{i=1}^n sqrt(y_i))$

Ora ti conviene trovare la distribuzione di $X=sqrt(Y)$

Fammi sapere.

[Mauro902]

si scusami.. $ theta>0 $ e $ y>0 $

... Per il punto c, la statistica sufficiente è solo la sommatoria? non dovrebbe essere una funzione in y e theta?e quindi, in pratica sarebbe la Verosimiglianza, una statistica sufficiente?

giusto, il d avevo sbagliato ad inserire la formula qui, ma mi viene esattamente come hai scritto... ma ora, non saprei come fare a trovare la distribuzione. puoi aiutarmi, ti prego??=)

tu mi suggerisci una trasformazione di variabili, quindi se pongo $ X=sqrt(Y) $ lo stimatore risulta $ hat theta = n/(sum(X)) $ , ok, ma ora come faccio a dire che distribuzione ha ?? è proprio questo che mi manca..

[Mauro902]

comunque grazie mille per la risposta, davvero =))) sono in crisi

[DajeForte]

b) la statistica sufficiente è una funzione dei dati che ti compatta l'osservazione del campione.
Ovvero invece che avere $(y_1,...,y_n)$ hai una funzione $t=f(y_1,...,y_n)$.
La definizione di statistica sufficiente la trovi qua: http://it.wikipedia.org/wiki/Sufficienza_(statistica)

Ora trova ladistribuzione di $X=sqrt(Y)$

$P(X
$f_X(x,theta)=theta\ e^{-theta\ x}$ che è dunque esponenziale

Appica ora lo stesso procedimento a $\hat theta=n/(sum_{i=1}^nX_i)$

ovvero $P(n/(sum_{i=1}^nX_i)

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[Mauro902]

grazie mille ancora una volta per la risposta velocissima!!sei un grande!! =D

ora provo a capirci..mm quindi per trovare la distribuzione, applico sempre P(X
Ora non mi è chiaro come dici che questa è una gamma...
e un'altra cosa.. lo spazio parametrico, il nostro prof ce lo fa scrivere come (-infinito,0)x(-infinito,infinito), ad esempio...
in questo caso, cosa dovrei fare?? scusami se ti assillo..

[DajeForte]

"Mauro90":quindi per trovare la distribuzione, applico sempre P(X
In generale questa è una strada che utiizza la funzione di ripartizione, e in genere si applica quando hai variabili aleatorie continue.

"Mauro90":Ora non mi è chiaro come dici che questa è una gamma...

Questo è un risultato molto importante. La somma di $n$ variabili esponenziai indipendenti e di stesso parametro ti fornisce la distribuzione nota gamma

ESPONENZIALE: http://it.wikipedia.org/wiki/Distribuzione_esponenziale
GAMMA: http://it.wikipedia.org/wiki/Distribuzione_Gamma Se guardi alla fine ci sono le relazioni che la gamma ha con altre distribuzioni.
Diciamoche molte distribuzioni sono casi particolari di Gamma.

Ti scrivo al volo il modello che devi usare per fare quello che ti dicevo:

$X_i\ sim Exp(theta)$; $f_X(x,theta)=theta e^{-theta x}$; i.i.d. (abbreviazione per indipendenti ed identicamente distribuite).

$Z=sum_{i=i}^n X_i\ sim text(Gamma)(n,theta)$; $f_Z(x,theta,n)=(theta^n)/(Gamma(n))\ e^{-theta x}\ x^{n-1}$

In generale tutte le variabili e parametri in gioco sono reali positivi; nel nostro caso $n$ è intero positivo.

$\hat theta = n/Z$ e questo ti risponde ad uno dei quesiti.

Dobbiamo trovarne la distribuzione. Innanzitutto sia $n$ che $Z$ sono positivi quindi anche $\hat theta$ è positivo.

$P(n/Zn/x)=int_{n/x}^{infty}f_Z(y,theta,n)dy$

Due precisazioni: stai attento a come svolgere la disequazione tra il primo ed ilsecondopassaggio; e non c'è bisogno che svolgi l'integrale se poi devi derivare.
Usa il teorema fondamentale del calcolointegrale.

Per quanto riguarda come scrivere per me basta che sia chiaro (poi bo ogni professore ha le sue richieste)
Puoi scrivere $theta>0$ e $y>0$ oppure $(theta,y)\ in \ (0,+infty)$X$(0,+infty)$