Problema assurdamente facile?
Salve a tutti, mi sono imbattuto in questo problema, che mi ha lasciato pieno di dubbi, per via della sua apparente ovvietà/assurdità. Il problema è così posto:
"Aldo, Giovanni e Giacomo vogliono lanciare una freccia contro un bersaglio. La probabilità che Aldo lo colpisca è 0.21, la probabilità che Giovanni lo colpisca è 0.88, mentre la probabilità che Giacomo lo colpisca è 0.44. Dopo che i tre lanciano la freccia si constata che il bersaglio é stato centrato da un solo colpo."
Qual è la probabilità che il bersaglio sia stato colpito da Aldo?
Qual è la probabilità che sia stato colpito da Giovanni?
Qual è la probabilità che sia stato colpito da Giacomo?
Inutile dire che, dal momento che non vengono fornite informazioni riguardo al condizionamento della probabilità, mi viene spontaneo rispondere alle tre domande con le rispettive probabilità dei personaggi, fornite dal testo stesso. In pratica si sa solamente che l'esperimento è compiuto (cioè il bersaglio è stato colpito). Quindi le probabilità, essendo una sola la freccia che ha colpito il bersaglio, dovrebbero rimanere le medesime espresse dal testo.
Le risposte sono quindi, nell'ordine, 0.21 , 0,88 e 0,44 , oppure sto compiendo un errore macroscopico ignorando qualcosa che non riesco a notare e che invece è evidente?
Grazie mille in anticipo per il supporto!
"Aldo, Giovanni e Giacomo vogliono lanciare una freccia contro un bersaglio. La probabilità che Aldo lo colpisca è 0.21, la probabilità che Giovanni lo colpisca è 0.88, mentre la probabilità che Giacomo lo colpisca è 0.44. Dopo che i tre lanciano la freccia si constata che il bersaglio é stato centrato da un solo colpo."
Qual è la probabilità che il bersaglio sia stato colpito da Aldo?
Qual è la probabilità che sia stato colpito da Giovanni?
Qual è la probabilità che sia stato colpito da Giacomo?
Inutile dire che, dal momento che non vengono fornite informazioni riguardo al condizionamento della probabilità, mi viene spontaneo rispondere alle tre domande con le rispettive probabilità dei personaggi, fornite dal testo stesso. In pratica si sa solamente che l'esperimento è compiuto (cioè il bersaglio è stato colpito). Quindi le probabilità, essendo una sola la freccia che ha colpito il bersaglio, dovrebbero rimanere le medesime espresse dal testo.
Le risposte sono quindi, nell'ordine, 0.21 , 0,88 e 0,44 , oppure sto compiendo un errore macroscopico ignorando qualcosa che non riesco a notare e che invece è evidente?
Grazie mille in anticipo per il supporto!
Risposte
No, non è assurdamente facile; rispetto all'altro esercizio postato questo è molto più articolato
Prima di tutto la probabilità che, ad esempio, solo Aldo colpisca il bersaglio è[nota]anche qui potrebbe essere istruttivo disegnare tutto lo spazio campionario e verificare che il totale delle probabilità dà uno
[/nota]
$0.21*(1-0.88)*(1-0.44)$
perché significa che aldo colpisce il bersaglio ma gli altri lo sbagliano..... e quindi la probabilità $0.21$ va moltiplicata per la probabilità che gli altri sbaglino (probabilità complementare)
....ma non finisce qui....se leggi bene la traccia si tratta di una probabilità condizionata:
puoi continuare tu...ovviamente la somma delle 3 probabilità condizionate deve dare uno....dato che una freccia è sicuramente arrivata nel bersaglio
Prima di tutto la probabilità che, ad esempio, solo Aldo colpisca il bersaglio è[nota]anche qui potrebbe essere istruttivo disegnare tutto lo spazio campionario e verificare che il totale delle probabilità dà uno
[/nota]$0.21*(1-0.88)*(1-0.44)$
perché significa che aldo colpisce il bersaglio ma gli altri lo sbagliano..... e quindi la probabilità $0.21$ va moltiplicata per la probabilità che gli altri sbaglino (probabilità complementare)
....ma non finisce qui....se leggi bene la traccia si tratta di una probabilità condizionata:
Probabilità che Aldo/Giovanni/Giacomo abbia colpito il bersaglio DATO che si è constatato un solo centro.
puoi continuare tu...ovviamente la somma delle 3 probabilità condizionate deve dare uno....dato che una freccia è sicuramente arrivata nel bersaglio
Accidenti, avevo sbagliato completamente approccio! Ora però mi rimane un dubbio. Devo individuare l'evento condizionante, che dovrebbe essere appunto che il centro è stato colpito da una sola freccia. Poi dovrei usare la formula della probabilità condizionata:
$ Pr((A\capB^C\capC^C)|H) = (Pr((A\capB^C\capC^C)\capH))/ (Pr(H))$
per calcolare la probabilità dell'evento A (cioè che sia Aldo a colpire il centro), considerando che l'evento H è avvenuto, ovvero che solo una freccia ha colpito il centro.
E' corretto definire $H$ come $H= (A\capB\capC)$ ? E quindi la sua probabilità come $Pr(H)=((Pr(A))*(Pr(B))*(Pr(C)) = 0,21*0,88*0,44=0,0813$ ?
Nel caso di A quindi $Pr((A\capB^C\capC^C)\capH))=0,014*0,0813$ ?
Non capisco se questo passo del ragionamento sia giusto o meno.
$Pr(A\capB^C\capC^C) = 0,014$ stando a come mi hai spiegato.
Se fosse giusto la formula con i numeri per calcolare la probabilità che avvenga A (cioè che sia Aldo a colpire il centro) dovrebbe essere:
$Pr(A) = Pr((A\capB^C\capC^C)|H) = (0,014*0,0813)/(0,0813)$
però mi pare strano visto che così $Pr(H)$ viene semplificato. Ho un dubbio riguardo alla definizione di $Pr((A\capB^C\capC^C)\capH))$ e di conseguenza alla definizione di $H$. Non è che $H$ nel caso che avvenga $A$, coincida con $A$ stesso?
Grazie mille per il supporto!
$ Pr((A\capB^C\capC^C)|H) = (Pr((A\capB^C\capC^C)\capH))/ (Pr(H))$
per calcolare la probabilità dell'evento A (cioè che sia Aldo a colpire il centro), considerando che l'evento H è avvenuto, ovvero che solo una freccia ha colpito il centro.
E' corretto definire $H$ come $H= (A\capB\capC)$ ? E quindi la sua probabilità come $Pr(H)=((Pr(A))*(Pr(B))*(Pr(C)) = 0,21*0,88*0,44=0,0813$ ?
Nel caso di A quindi $Pr((A\capB^C\capC^C)\capH))=0,014*0,0813$ ?
Non capisco se questo passo del ragionamento sia giusto o meno.
$Pr(A\capB^C\capC^C) = 0,014$ stando a come mi hai spiegato.
Se fosse giusto la formula con i numeri per calcolare la probabilità che avvenga A (cioè che sia Aldo a colpire il centro) dovrebbe essere:
$Pr(A) = Pr((A\capB^C\capC^C)|H) = (0,014*0,0813)/(0,0813)$
però mi pare strano visto che così $Pr(H)$ viene semplificato. Ho un dubbio riguardo alla definizione di $Pr((A\capB^C\capC^C)\capH))$ e di conseguenza alla definizione di $H$. Non è che $H$ nel caso che avvenga $A$, coincida con $A$ stesso?
Grazie mille per il supporto!
la probabilità che avvenga un solo centro è la somma di 3 probabilità composte
A=Aldo
G=Giovanni
J=James (Giacomo)
$P(1)=P(Abar(G)bar(J))+P(bar(A)Gbar(J))+P(bar(A)bar(G)J)$
alla fine ti troverai con
$P(A|1)=(0.21*0.12*0.56)/(0.21*0.12*0.56+0.79*0.88*0.56+0.79*0.12*0.44)=3.17%$
$P(G|1)=...=87.46%$
$P(J|1)=...=9.37%$
la cui somma è $3.17+87.46+9.37=100%$ come è ovvio che sia
sul forum troverai centinaia di esempi svolti e numerosi utenti in grado di supportarti nei tuoi Brainstorming.....
buona continuazione....
Ok, ho riguardato anche altri esercizi simili. In effetti il procedimento con la tabella delle probabilità aiuta parecchio.
È che il nostro prof purtroppo non spiega un granché e butta lì concetti di teoria senza applicarli a diversi esempi.
Grazie mille per il supporto di oggi, l'aiuto è stato utilissimo!
È che il nostro prof purtroppo non spiega un granché e butta lì concetti di teoria senza applicarli a diversi esempi.
Grazie mille per il supporto di oggi, l'aiuto è stato utilissimo!
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