Problema approssimazione binomiale in una normale
Ciao a tutti! Devo risolvere il seguente esercizio:
Un industria tessile produce pezzi (altezza stoffa pari a 1,50 m) di stoffa in cui in media è presente un difetto ogni 15 m². Supponendo che la distribuzione dei difetti segua una distribuzione di Poisson sulla superfice:
a) Qual è la probabilità che in uno scampolo di 25 m² ci siano almeno 3 difetti?
b) Se si scelgono 200 scampoli di 25 m² dalla produzione, qual è la probabilità che esattamente 2 abbiano al più 2 difetti?
Il punto a) l'ho risolto calcolandomi la
\(\displaystyle P(X>=3)=1-P(X<=2) \)
indicando con X il numero di difetti presenti in uno scampolo di 25 m² (\(\displaystyle X\sim Poisson(\frac{25}{15})) \)
Per svolgere il punto b), invece, indicando con Y il numero degli scampoli che hanno al più 2 difetti, ho che
\(\displaystyle Y\sim Bin(n=200, p= P(X<=2)) \), dove p è stata calcolata nel punto a.
A questo punto, essendo n elevato, la teoria mi dice che la binomiale può essere approssimata alla normale con media np e varianza np(1-p):
\(\displaystyle P(Y=2)\simeq P(Z=\frac{2-np}{\sqrt{np(1-p)}}) \)
Il problema sta proprio in quest'ultimo passaggio, poichè, andando a sostituire n e p ottengo :
\(\displaystyle P(Z=-24) \) circa.
Insomma un valore di z troppo piccolo. Sbaglio per caso ragionamento?
Un industria tessile produce pezzi (altezza stoffa pari a 1,50 m) di stoffa in cui in media è presente un difetto ogni 15 m². Supponendo che la distribuzione dei difetti segua una distribuzione di Poisson sulla superfice:
a) Qual è la probabilità che in uno scampolo di 25 m² ci siano almeno 3 difetti?
b) Se si scelgono 200 scampoli di 25 m² dalla produzione, qual è la probabilità che esattamente 2 abbiano al più 2 difetti?
Il punto a) l'ho risolto calcolandomi la
\(\displaystyle P(X>=3)=1-P(X<=2) \)
indicando con X il numero di difetti presenti in uno scampolo di 25 m² (\(\displaystyle X\sim Poisson(\frac{25}{15})) \)
Per svolgere il punto b), invece, indicando con Y il numero degli scampoli che hanno al più 2 difetti, ho che
\(\displaystyle Y\sim Bin(n=200, p= P(X<=2)) \), dove p è stata calcolata nel punto a.
A questo punto, essendo n elevato, la teoria mi dice che la binomiale può essere approssimata alla normale con media np e varianza np(1-p):
\(\displaystyle P(Y=2)\simeq P(Z=\frac{2-np}{\sqrt{np(1-p)}}) \)
Il problema sta proprio in quest'ultimo passaggio, poichè, andando a sostituire n e p ottengo :
\(\displaystyle P(Z=-24) \) circa.
Insomma un valore di z troppo piccolo. Sbaglio per caso ragionamento?
Risposte
Beh direi di no.
Il quesito b) è abbastanza simile a chiedersi, ad esempio, lanciando 200 volte una moneta, quant'è la probabilità di avere esattamente 2 teste (e solo 2).
Chiaro che la probabilità è molto molto piccola, $1/2^200$.
Piuttosto dire che non c'è bisogno di scomodare la normale, più semplicemente la probabilità è ${(200), (198):} p^2 (1-p)^198 =(200*199)/(2) p^2 (1-p)^198 $.
Il quesito b) è abbastanza simile a chiedersi, ad esempio, lanciando 200 volte una moneta, quant'è la probabilità di avere esattamente 2 teste (e solo 2).
Chiaro che la probabilità è molto molto piccola, $1/2^200$.
Piuttosto dire che non c'è bisogno di scomodare la normale, più semplicemente la probabilità è ${(200), (198):} p^2 (1-p)^198 =(200*199)/(2) p^2 (1-p)^198 $.
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