Probabilità variabile aleatoria vettoriale
Salve, avrei bisogno di sapere se ho svolto bene il seguente esercizio dato che non ho la soluzione:
sia $ (X,Y) $ la variabile aleatoria uniformemente distribuita nell'intervallo: $ x^2+y^2<2x $ ; calcolare la probabilità che $ P(X<1) $.
Per ciò che so io $ P(X<1) $ è uguale all'integrale doppio della funzione densità congiunta sulla parte di piano compresa tra la circonferenza e la retta $ x=1 $ (la semicirconferenza sinistra per intendersi); ora essendo la densità congiunta $ 1/pi $ a me torna che $ P(X<1)=1/(2pi^2) $.
Questo procedimento è giusto oppure devo utilizzare la densità marginale di x invece che la congiunta?
Grazie in anticipo.
sia $ (X,Y) $ la variabile aleatoria uniformemente distribuita nell'intervallo: $ x^2+y^2<2x $ ; calcolare la probabilità che $ P(X<1) $.
Per ciò che so io $ P(X<1) $ è uguale all'integrale doppio della funzione densità congiunta sulla parte di piano compresa tra la circonferenza e la retta $ x=1 $ (la semicirconferenza sinistra per intendersi); ora essendo la densità congiunta $ 1/pi $ a me torna che $ P(X<1)=1/(2pi^2) $.
Questo procedimento è giusto oppure devo utilizzare la densità marginale di x invece che la congiunta?
Grazie in anticipo.
Risposte
quindi dovrei fare $ 2/pi int_(0)^(1) sqrt(2x-x^2) dx $ giusto? oppure ho sbagliato a calcolare la densità marginale? chiedo questo perché l'esercizio l'ho preso da un vecchio esame e l'integrale mi sembra un po' lungo e difficile da calcolare durante un compito in classe.
la marginale che hai calcolato è corretta e questa è la procedura giusta. Se poi numericamente viene uguale a come hai fatto tu non so...non ho fatto i conti...tieni presente che stai calcolando l'integrale di una uniforme (anche un quadrato di lato untario ha un'area pari al lato, ma ciò non vale per un quadrato qualsiasi....)
per quanto riguarda l'integrale..beh si risolve per parti in 3 passaggi lordi
$intsqrt(2x-x^2)dx=intsqrt(1-(x-1)^2)dx$
tale integrale è del tipo:
$intsqrt(1-z^2)dz=zsqrt(1-z^2)+intz^2/sqrt(1-z^2)dz=zsqrt(1-z^2)-int(1-z^2-1)/sqrt(1-z^2)dz$
$intsqrt(1-z^2)dz=zsqrt(1-z^2)-intsqrt(1-z^2)dz+int1/sqrt(1-z^2)dz$
$intsqrt(1-z^2)dz=z/2sqrt(1-z^2)+1/2int1/sqrt(1-z^2)dz=z/2sqrt(1-z^2)+1/2arcsenz+c$
PS: l'integrale l'ho risolto direttamente sull'editor, senza fare conti su carta e penna....quindi spero non ci siano imprecisioni...
per quanto riguarda l'integrale..beh si risolve per parti in 3 passaggi lordi
$intsqrt(2x-x^2)dx=intsqrt(1-(x-1)^2)dx$
tale integrale è del tipo:
$intsqrt(1-z^2)dz=zsqrt(1-z^2)+intz^2/sqrt(1-z^2)dz=zsqrt(1-z^2)-int(1-z^2-1)/sqrt(1-z^2)dz$
$intsqrt(1-z^2)dz=zsqrt(1-z^2)-intsqrt(1-z^2)dz+int1/sqrt(1-z^2)dz$
$intsqrt(1-z^2)dz=z/2sqrt(1-z^2)+1/2int1/sqrt(1-z^2)dz=z/2sqrt(1-z^2)+1/2arcsenz+c$
PS: l'integrale l'ho risolto direttamente sull'editor, senza fare conti su carta e penna....quindi spero non ci siano imprecisioni...
capito, non avevo pensato a quel cambio di variabile 
grazie mille!!
grazie mille!!
"argo93":
sia $ (X,Y) $ la variabile aleatoria uniformemente distribuita nell'intervallo: $ x^2+y^2<2x $ ; calcolare la probabilità che $ P(X<1) $.
Per ciò che so io $ P(X<1) $ è uguale all'integrale doppio della funzione densità congiunta sulla parte di piano compresa tra la circonferenza e la retta $ x=1 $ (la semicirconferenza sinistra per intendersi); ora essendo la densità congiunta $ 1/pi $ a me torna che $ P(X<1)=1/(2pi^2) $.
L'hai detto tu stesso "la semicirconferenza sinistra per intendersi". L'area della semicirconferenza è $pi/2$, che moltiplicata per la densità congiunta costante $1/pi$ dà probabilità $1/2$ (semicirconferenza => $1/2$)
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