Probabilità urna

[clax2]

Ho bisogno di un pò di aiuto perchè ne capisco poco.

Urna con 20 palline di cui 4 rosse. Che probabilità c'è che esca una pallina rossa estraendo 5 palline senza rimettere quelle estratte nell'urna?

Seconda estrazione l'urna rimane con 19 palline di cui 4 rosse. Che probabilità c'è che esca una rossa estraendo 5 palline senza rimettere quelle estratte nell'urna

Scusate per voi sarà semplicissimo, ma ne avrei bisogno.
Grazie

[clax2]

Aj e quella che non esca una pallina rossa?

[Magma1]

"clax":Urna con $20$ palline di cui $4$ rosse. Che probabilità c'è che esca una pallina rossa estraendo $5$ palline senza rimettere quelle estratte nell'urna?

Lo spazio degli eventi è dato da $((20),(5))$. Il numero di modi per estrarre una pallina rossa è $((4),(1))$ mentre, essendo le estrazioni da fare $5$ ciò equivale a dire che le altre $4$ palline siano non rosse, si deve tenere conto anche dei diversi modi di estrarre 4 palline non rosse: $((16),(4))$; in conclusione si ha che la probabilità[nota]Utilizzando il principio fondamentale del calcolo delle probabilità.[/nota] di estrarre una pallina rossa da un'urna di $20$ palline, estraendo $5$ volte senza reimmissione, è:

$(((4),(1))((16),(4)))/(((20),(5)))$

[clax2]

"Magma":[quote="clax"]Urna con $20$ palline di cui $4$ rosse. Che probabilità c'è che esca una pallina rossa estraendo $5$ palline senza rimettere quelle estratte nell'urna?

Lo spazio degli eventi è dato da $((20),(5))$. Il numero di modi per estrarre una pallina rossa è $((4),(1))$ mentre, essendo le estrazioni da fare $5$ ciò equivale a dire che le altre $4$ palline siano non rosse, si deve tenere conto anche dei diversi modi di estrarre 4 palline non rosse: $((16),(4))$; in conclusione si ha che la probabilità[nota]Utilizzando il principio fondamentale del calcolo delle probabilità.[/nota] di estrarre una pallina rossa da un'urna di $20$ palline, estraendo $5$ volte senza reimmissione, è:

$(((4),(1))((16),(4)))/(((20),(5)))$

[/quote]


ehmmm quindi riassumendo 1 probabilità su?

[Magma1]

"clax":
ehmmm quindi riassumendo 1 probabilità su?

Non conosci il coefficiente binomiale? È così definito:

$((n),(k)):=(n!)/(k!*(n-k)!)$

$ ((4),(1)) =4 $

$ ((16),(4)) =(16!)/(4!*12!)=(16*15*14*13)/(4*3*2)$

$ ((20),(5))=(20!)/(5!*15!)=(20*19*18*17*16)/(5*4*3*2)$

Quindi si ha che

$ (((4),(1))((16),(4)))/(((20),(5))) =(4*((16*15*14*13)/(4*3*2)))/((20*19*18*17*16)/(5*4*3*2))=(16*15*14*13)/(19*18*17*16)=455/969~~47%$

[clax2]

addirittura.... non l'avrei mai detto io pensavo un 20/25% massimo.

Ora so che chiedo troppo, ma avrei una richiesta enorme, magari quando si ha mezz'oretta......
Se non hai intenzione dimmelo e ti ringrazio lo stesso.
Ti spiego la situazione.
Sorteggio in cui ci sono ste 4 palle rosse e 16 bianche per un totale di 20.
Ogni sorteggio fino all'ottava volta (in cui ogni volta si estraggono 5 palle) esce una palla bianca e nessuna palla rossa è mai uscita. Dopo la prima estrazione restano 19 bianche e 4 rosse , poi 18 bianche e 4 rosse e così via.

Che probabilità c'era che ste benedette palle rosse non uscissero per 8 sorteggi (con 5 estrazioni ognuno senza riporre le palle nell'urna)?

[Magma1]

È simile a questo, prova ad abbozzare una soluzione

[clax2]

"Magma":È simile a questo, prova ad abbozzare una soluzione

Sono solo un geometra senza le necessarie basi. Ci provo, scriverò centinaia di errori....

$ (( (4), (1) )( (16), (4) ) )/(( (20), (5) ) ) *(( (4), (1) )( (15), (4) ) )/(( (19), (5) ) ) *(( (4), (1) )( (14), (4) ) )/(( (18), (5) ) ) *(( (4), (1) )( (13), (4) ) )/(( (17), (5) ) ) *(( (4), (1) )( (12), (4) ) )/(( (16), (5) ) ) *(( (4), (1) )( (11), (4) ) )/(( (15), (5) ) ) *(( (4), (1) )( (10), (4) ) )/(( (14), (5) ) ) *(( (4), (1) )( (9), (4) ) )/(( (13), (5) ) ) $

[Magma1]

Noi voliamo che nelle $5$ estrazioni non esca nemmeno una rossa quindi dobbiamo avere

$ (((4),(0))((16),(5)))/(((20),(5))):=p$

questo esperimento lo ripetiamo $8$ volte per cui, data l'indipendenza di ogni esperimento, si ha

$p^8$

P.S. $((n),(0)):=1$

[clax2]

"Magma":Noi voliamo che nelle $5$ estrazioni non esca nemmeno una rossa quindi dobbiamo avere

$ (((4),(0))((16),(5)))/(((20),(5))):=p$

questo esperimento lo ripetiamo $8$ volte per cui, data l'indipendenza di ogni esperimento, si ha

$p^8$

P.S. $((n),(0)):=1$

Però così viene considerato che venti palline in totale ci sono solo nel primo sorteggio, poi la pallina bianca non torna nell'urna e quindi le palline in totale saranno 19 e dopo altre 5 estrazioni saranno 18 e così via

[clax2]

Dovrei quindi sommare gli 8 eventi modificando di volta in volta togliendo una pallina sopra (il 16 diventa 15) e una sotto (il 20 diventa 19) e alla fine dividere per p = 8 ?

[Magma1]

"clax":
Però così viene considerato che venti palline in totale ci sono solo nel primo sorteggio, poi la pallina bianca non torna nell'urna e quindi le palline in totale saranno 19 e dopo altre 5 estrazioni saranno 18 e così via

Ne tiene conto il coefficiente binomiale:

$((16),(5))=(16!)/(5!*11!)=(16*15*14*13*12)/(5!)$

$((20),(5))=(20!)/(5!*15!)=(20*19*18*17*16)/(5!)$

Per cui la probabilità che, estraendo $5$ volte senza reimmissione, si peschino $5$ palline bianche, ovvero nessuna rossa, è:

$(((16),(5)))/( ((20),(5)))= (16*15*14*13*12)/(5!) *(5!)/ (20*19*18*17*16)=(16*15*14*13*12)/(20*19*18*17*16)$

Ma noi voliamo ripetere l'esperimento $8$ volte e vedere quanto sia la probabilità di pescare tutte le volte solo $5$ palline bianche e scopriamo, sfruttando l'indipendenza degli esperimenti, di ottenere:

$\underbrace{ ((16*15*14*13*12)/(20*19*18*17*16))*...*((16*15*14*13*12)/(20*19*18*17*16)) }_{8 \text{ volte}} =((16*15*14*13*12)/(20*19*18*17*16))^8~ 0.00396%$

[clax2]

@Magma
Ok, scrivo solo questa ultima cosa per essere sicuro di essermi spiegato perchè non ne sono ancora sicuro.

Primo sorteggio 16 palline bianche 4 rosse estraggo 5 palline tutte bianche.

A questo punto elimino una pallina bianca dall'urna

Secondo sorteggio 15 palline bianche 4 rosse, estraggo 5 palline bianche e nessuna rossa e anche questa volta elimino una pallina bianca
Terzo sorteggio 14 palline bianche e 4 rossa, estraggo 5 palline bianche e nessuna rossa e elimino una bianca una bianca dall'urna
Quarto sorteggio 13 palline bianche e 4 rossa, estraggo 5 palline bianche e nessuna rossa e elimino una bianca una bianca dall'urna
Quinto sorteggio 12 palline bianche e 1 rossa, estraggo 5 palline bianche e nessuna rossa e elimino una bianca una bianca dall'urna
Sesto sorteggio 11 palline bianche e 4 rossa, estraggo 5 palline bianche e nessuna rossa e elimino una bianca una bianca dall'urna
Settimo sorteggio 10 palline bianche e 4 rossa, estraggo 5 palline bianche e nessuna rossa e elimino una bianca una bianca dall'urna
Ottavo sorteggio 9 palline bianche e 4 rossa, estraggo 5 palline bianche e nessuna rossa e elimino una bianca una bianca dall'urna

Ecco questo è l'esperimento completo. Io invece credo che tu abbia capito che ogni volta nell'urna ci stanno 20 palline e non è così.

[superpippone]

Per quanto riguarda il primo quesito, io avrei un altro risultato:

$4/20*16/19*15/18*14/17*13/16*5=455/969=0,469556$

[superpippone]

Per quanto riguarda l'esperimento:

$16/20*15/19*14/18*13/17*12/16*15/19*14/18*13/17*12/16*11/15*14/18*13/17*12/16*11/15*10/14*13/17*12/16*11/15*10/14*9/13*12/16*11/15*10/14*9/13*8/12*11/15*10/14*9/13*8/12*7/11*10/14*9/13*8/12*7/11*6/10*9/13*8/12*7/11*6/10*5/9$

Quanto faccia non lo so.
Lascio a te il piacere di calcolarlo..........

[clax2]

Vi ringrazio tutti.
Non era un esperimento, era un caso realmente successo e volevo capire che probabilità ci fosse che accadesse.
Ho fatto quel calcolo e siamo ovviamente al 99.99ecc . Grazie ancora

[Magma1]

"superpippone":Per quanto riguarda il primo quesito, io avrei un altro risultato:

$4/20*16/19*15/18*14/17*13/16*5=455/969=0,469556$

"tommik":Sì è vero ha solo fatto un piccolo errore di semplificazione...

Corretto!

"superpippone":Per quanto riguarda l'esperimento:

$16/20*15/19*14/18*13/17*12/16*15/19*14/18*13/17*12/16*11/15*14/18*13/17*12/16*11/15*10/14*13/17*12/16*11/15*10/14*9/13*12/16*11/15*10/14*9/13*8/12*11/15*10/14*9/13*8/12*7/11*10/14*9/13*8/12*7/11*6/10*9/13*8/12*7/11*6/10*5/9$

Quanto faccia non lo so.
Lascio a te il piacere di calcolarlo..........

Utilizzando un foglio di calcolo viene fuori $0,000001216$.

@Clax: Ma che senso ha questo esperimento? Se dopo ogni ciclo di $5$ estrazioni elimini una pallina bianca, è ovvio che la probabilità di estrarre solo palline bianche diminuisce in modo critico, tendendo all'assurdo