Probabilità sul lancio di 2 dadi
Eccovi questo bel (spero!) problema di probabilità:
Quante volte devo lanciare due dadi affinché si abbia una
probabilità maggiore del 50% di ottenere 7 come risultato
più frequente?
Lanciando una sola volta i 2 dadi il 7 ha probabilità $\frac{1}{6}$,
aumentando il numero dei lanci si arriva in modo asintotico a 1, ma quando
si avrà $p > 0,5$ ?
Questo problema me lo sono posto quest'anno, quando ho cercato di spiegare
ai miei studenti la differenza tra probabilità e dati reali..
Con un centinaio di lanci il 7 fu battuto dall'8 e dal 6.
Allora mi posi il problema che vi ho posto (era inevitabile porsi questo problema, no?!).
Ho fatto una simulazione con il metodo montecarlo e ho trovato che il risultato dovrebbe
essere tra i 70 e i 76 lanci.
Francesco Daddi
Quante volte devo lanciare due dadi affinché si abbia una
probabilità maggiore del 50% di ottenere 7 come risultato
più frequente?
Lanciando una sola volta i 2 dadi il 7 ha probabilità $\frac{1}{6}$,
aumentando il numero dei lanci si arriva in modo asintotico a 1, ma quando
si avrà $p > 0,5$ ?
Questo problema me lo sono posto quest'anno, quando ho cercato di spiegare
ai miei studenti la differenza tra probabilità e dati reali..
Con un centinaio di lanci il 7 fu battuto dall'8 e dal 6.
Allora mi posi il problema che vi ho posto (era inevitabile porsi questo problema, no?!).
Ho fatto una simulazione con il metodo montecarlo e ho trovato che il risultato dovrebbe
essere tra i 70 e i 76 lanci.
Francesco Daddi
Risposte
E con 200 lanci si ha circa il 64% di probabilità.
Sempre con il metodo montecarlo.
Francesco Daddi
Sempre con il metodo montecarlo.
Francesco Daddi
Scusami ma non ho capito la domanda...
Tu vuoi sapere dopo quanti lanci è uscito almeno un 7 con una probabilità del 50%?
Perchè allora la risposta è 4... (1-(5/6)^n>1/2)
Se invece vuoi sapere dopo quanti lanci hai il 50% delle possibilità che sia uscito una sola volta il numero 7... la risposta è mai visto che la proaabilità massima che sia uscito un solo 7 è tra 5 e 6 lanci ed è circa il 40%
Forse ho capito male il prolema...
Tu vuoi sapere dopo quanti lanci è uscito almeno un 7 con una probabilità del 50%?
Perchè allora la risposta è 4... (1-(5/6)^n>1/2)
Se invece vuoi sapere dopo quanti lanci hai il 50% delle possibilità che sia uscito una sola volta il numero 7... la risposta è mai visto che la proaabilità massima che sia uscito un solo 7 è tra 5 e 6 lanci ed è circa il 40%
Forse ho capito male il prolema...
Ti faccio un esempio:
con 100 lanci ottieni 15 "7", 18 "6". In questo caso il "7" non è il numero più "gettonato".
Io voglio sapere quante volte devo lanciare 2 dadi affinché il "7" sia il numero
più uscito. Dovrebbe essere tra 73 e 76.
Francesco Daddi
con 100 lanci ottieni 15 "7", 18 "6". In questo caso il "7" non è il numero più "gettonato".
Io voglio sapere quante volte devo lanciare 2 dadi affinché il "7" sia il numero
più uscito. Dovrebbe essere tra 73 e 76.
Francesco Daddi
"franced":
Ti faccio un esempio:
con 100 lanci ottieni 15 "7", 18 "6". In questo caso il "7" non è il numero più "gettonato".
Io voglio sapere quante volte devo lanciare 2 dadi affinché il "7" sia il numero
più uscito. Dovrebbe essere tra 73 e 76.
Francesco Daddi
Forse ho detto male.
Voglio dire che voglio sapere quante volte devo lanciare 2 dadi per avere la probabilità
maggiore del 50% di ottenere il "7" più volte degli altri numeri.
Considero buono il caso in cui il "7" ha il massimo numero di uscite a pari merito con altri.
Francesco Daddi
Scusatemi tanto..
Ma la probabilità di ottenere 7 lancinado una volta due dadi non è:
$P(7)=P_1(7)*P_2(7)+(P_1(7))^c *P_2(7)+P_1(7)*(P_2(7))^c= 11/36$ ?
Ma la probabilità di ottenere 7 lancinado una volta due dadi non è:
$P(7)=P_1(7)*P_2(7)+(P_1(7))^c *P_2(7)+P_1(7)*(P_2(7))^c= 11/36$ ?
"clrscr":
Scusatemi tanto..
Ma la probabilità di ottenere 7 lancinado una volta due dadi non è:
$P(7)=P_1(7)*P_2(7)+(P_1(7))^c *P_2(7)+P_1(7)*(P_2(7))^c= 11/36$ ?
La probabilità di ottenere "7" lanciando una sola volta una coppia di dadi è
$\frac{1}{6}$.
Francesco Daddi
Quante facce hanno sti dadi?!?
Da quel che mi pare di intuire, ma non è stato esplicamente detto, si parla della somma dei numeri dei due dadi che deve dare 7...no?
Per il resto, neppure io ho ben inteso cosa vuoi determinare...
Da quel che mi pare di intuire, ma non è stato esplicamente detto, si parla della somma dei numeri dei due dadi che deve dare 7...no?
Per il resto, neppure io ho ben inteso cosa vuoi determinare...
"franced":
[quote="franced"]Ti faccio un esempio:
con 100 lanci ottieni 15 "7", 18 "6". In questo caso il "7" non è il numero più "gettonato".
Io voglio sapere quante volte devo lanciare 2 dadi affinché il "7" sia il numero
più uscito. Dovrebbe essere tra 73 e 76.
Francesco Daddi
Forse ho detto male.
Voglio dire che voglio sapere quante volte devo lanciare 2 dadi per avere la probabilità
maggiore del 50% di ottenere il "7" più volte degli altri numeri.
Considero buono il caso in cui il "7" ha il massimo numero di uscite a pari merito con altri.
Francesco Daddi[/quote]
Ok... ho capito la domanda ma secondo me la risposta è comunque mai...
Tu vuoi sapere in pratica la probabilità che nella sequenza dei lanci appaia il 7 più della metà delle volte..
Ora la probabilità che il numero 7 appaia k volte in n lanci è $((n),(k))(1/6)^k(5/6)^{n-k}$.
Tu vuoi la probabilità che appaia almeno n/2 volte, ossia:
$\sum_{k=n/2}^n ((n),(k))(1/6)^k(5/6)^{n-k}$
(lasciami supporre che tutto sia pari e meraviglioso... tanto non cambia nulla ai fini di quello che voglio dire)
e questa robaccia la vorresti superiore a 1/2, cosa che non succede mai: basta che maggiori selvaggiamente per accorgerte.
Maggiora il prodotto delle potenze 1/6 e 5/6 con $(5/36)^{n/2}$ ed $((n),(k))$ con $2^n$. Devi studiare la quantità $n/2 (20/36)^{n/2}$, che tende a 0 (d'altra parte 5/36 < 1/4) e ha un solo massimo locale tra 3 e 4. Ti rendi conto che già in 7 è minore di 1/2. A questo punto basta che ti fai a mano i casi n=2,3,4,5,6 e vedi che non è possibile...
Ma forse ho nuovamente capito male...
[quote=one.side.strip]
Ok... ho capito la domanda ma secondo me la risposta è comunque mai...
Tu vuoi sapere in pratica la probabilità che nella sequenza dei lanci appaia il 7 più della metà delle volte..
[quote]
No.
Non voglio quello, sarebbe troppo facile!
Voglio che il "7" sia uscito più di tutti gli altri numeri, capito?
Se in 200 lanci ottengo ad esempio
32 volte "7"
30 volte "6"
38 volte "8"
non va bene perché il "7" è stato battuto dall' "8".
Se invece ottengo:
39 volte "7"
38 volte "8"
34 volte "6"
allora in questo caso è ok.
Io in pratica voglio determinare il minimo numero di lanci di un dado a 6 facce affinché
nel 50% dei casi il "7" sia il numero più uscito.
Chiaro? Spero..
Francesco Daddi
Ok... ho capito la domanda ma secondo me la risposta è comunque mai...
Tu vuoi sapere in pratica la probabilità che nella sequenza dei lanci appaia il 7 più della metà delle volte..
[quote]
No.
Non voglio quello, sarebbe troppo facile!
Voglio che il "7" sia uscito più di tutti gli altri numeri, capito?
Se in 200 lanci ottengo ad esempio
32 volte "7"
30 volte "6"
38 volte "8"
non va bene perché il "7" è stato battuto dall' "8".
Se invece ottengo:
39 volte "7"
38 volte "8"
34 volte "6"
allora in questo caso è ok.
Io in pratica voglio determinare il minimo numero di lanci di un dado a 6 facce affinché
nel 50% dei casi il "7" sia il numero più uscito.
Chiaro? Spero..
Francesco Daddi
Ho appena fatto un'altra simulazione.
I risultati ottenuti sono stati:
prob70 =
0.4929
prob71 =
0.4950
prob72 =
0.4968
prob73 =
0.4982
prob74 =
0.4994
prob75 =
0.5024
prob76 =
0.5027
Sembrerebbe 75, ma è pur sempre una simulazione e poi 74 è quasi al 50%..
ho fatto 1 milione di prove per ciascun numero di lanci.
Ho contato come caso favorevole il caso in cui ci sono più numeri primi a pari merito.
Francesco Daddi
I risultati ottenuti sono stati:
prob70 =
0.4929
prob71 =
0.4950
prob72 =
0.4968
prob73 =
0.4982
prob74 =
0.4994
prob75 =
0.5024
prob76 =
0.5027
Sembrerebbe 75, ma è pur sempre una simulazione e poi 74 è quasi al 50%..
ho fatto 1 milione di prove per ciascun numero di lanci.
Ho contato come caso favorevole il caso in cui ci sono più numeri primi a pari merito.
Francesco Daddi
Ok, adesso ho capito... solo che non mi viene in mente un'idea per la soluzione che non faccia uso di contazzi...
Ci penso su un attimo perchè vorrei trovare un modo intellgiente di farlo.
Ci penso su un attimo perchè vorrei trovare un modo intellgiente di farlo.
"one.side.strip":
Ok, adesso ho capito... solo che non mi viene in mente un'idea per la soluzione che non faccia uso di contazzi...
Ci penso su un attimo perchè vorrei trovare un modo intellgiente di farlo.
Non è un problema semplice, almeno per le mie conoscenze..
Io in questi casi faccio la simulazione al computer
Francesco Daddi
Nessuno ha idea di come risolvere il problema senza ricorrere alle simulazioni?
Francesco Daddi
Francesco Daddi
Io si, ma non senza un computer...
E' possibile trovare una "formula" (meglio dire un algoritmo) per il calcolo della probabilità...
Ma niente di umanamente manipolabile secondo me!
E' possibile trovare una "formula" (meglio dire un algoritmo) per il calcolo della probabilità...
Ma niente di umanamente manipolabile secondo me!
"one.side.strip":
Io si, ma non senza un computer...
E' possibile trovare una "formula" (meglio dire un algoritmo) per il calcolo della probabilità...
Ma niente di umanamente manipolabile secondo me!
"Umanamente manipolabile" è forte, rende l'idea!
Francesco Daddi
Non è umanamente manipolabile però ho pensato a questo:
$sum_(i_7=floor(n/2))^n ((n),(i_7))(1/6)^(i_7)(5/6)^(n-i_7)+ sum_(i_7=1)^(n/2)((n),(i_7))(1/6)^(i_7)(5/6)^(n-i_7) prod_((k=1),(k!=7))^12 ( sum_(i_k=0)^(n-i_7) ((n),(i_k))(p_k)^(i_k)(1-p_k)^(n-i_k) )
con condizioni $ (sum_(k=1)^12 i_k=n) $ per ogni elemento della somma di prodotti
$i_j$ è il numero di quante volte è uscita J come somma dei dadi
Nella prima binomiale sono in casi in cui il 7 supera la metà quindi sicuramente domina.
Nella seconda parte per ogni caso in cui il 7 non supera la metà, vengono studiati tutte le combinazioni possibili di dadi, purché nessuno superi in numero il 7.
piccola nota: ho considerato casi favorevoli i casi in cui il 7 pareggi con altri numeri.
$sum_(i_7=floor(n/2))^n ((n),(i_7))(1/6)^(i_7)(5/6)^(n-i_7)+ sum_(i_7=1)^(n/2)((n),(i_7))(1/6)^(i_7)(5/6)^(n-i_7) prod_((k=1),(k!=7))^12 ( sum_(i_k=0)^(n-i_7) ((n),(i_k))(p_k)^(i_k)(1-p_k)^(n-i_k) )
con condizioni $ (sum_(k=1)^12 i_k=n) $ per ogni elemento della somma di prodotti
$i_j$ è il numero di quante volte è uscita J come somma dei dadi
Nella prima binomiale sono in casi in cui il 7 supera la metà quindi sicuramente domina.
Nella seconda parte per ogni caso in cui il 7 non supera la metà, vengono studiati tutte le combinazioni possibili di dadi, purché nessuno superi in numero il 7.
piccola nota: ho considerato casi favorevoli i casi in cui il 7 pareggi con altri numeri.
Che formulona! 
Ho fatto altre simulazioni, ottenendo
prob73 =
0.4984
prob74 =
0.5002
prob75 =
0.5018
Dovrebbe essere 74 il numero minimo.
Se non è lui è 75..
Francesco Daddi
Ho fatto altre simulazioni, ottenendo
prob73 =
0.4984
prob74 =
0.5002
prob75 =
0.5018
Dovrebbe essere 74 il numero minimo.
Se non è lui è 75..
Francesco Daddi
Ciao, a prima vista i conti sembrano veramente "non umanamente manipolabili". Quando lancio una coppia di dadi ho 11 possibili risultati (con differenti probabilità) e, se voglio vedere la probabilità che "vinca il 7" in una "gara di 74 lanci" (74 perchè "indiziato dalle simulazioni"), devo prendere in considerazione 11^74 possibilità; di ognuna di queste dovrei vedere se è buona oppure no e se è buona ne dovrei calcolare la probabilità per poi sommare alla fine tutte quelle delle "favorevoli". Forse, a chi lo sa fare, conviene fare un programmino e farlo provare a fare ad un computer (e, chissà, se ciò, a livello di tempo, è realistico). Magari se sui dadi invece di scrivere tutti i numeri interi da 1 a 6, si scrive due volte 1, due volte 2, due volte 3 e ci si pone la stessa domanda sulla somma 4 invece di 7, "concettualmente il problema è somigliante" e "operativamente molto meno mostruoso".
Gli ultimi risultati, ottenuti dopo diverse ore di calcolo, dicono:
prob73 =
0.4981
prob74 =
0.5002
prob75 =
0.5019
Mi sembra che a questo punto sia 74 il valore minimo..
Francesco Daddi
prob73 =
0.4981
prob74 =
0.5002
prob75 =
0.5019
Mi sembra che a questo punto sia 74 il valore minimo..
Francesco Daddi
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo