Probabilità su lanci di monete multipli
Sono nuovo, mi auguro di non sbagliare quanto a contenuti o forma. Nel caso chiedo scusa.
Sto lavorando ad un problema e fatico a riacquisire le mie conoscenze di - ahimé - 25 anni fa: lancio 4 monete. Qual è la probabilità di ottenere 3 teste? 25% e si ottiene notando che il numero di combinazioni possibili con tre teste è $((4),(3))=(4!)/(3!*1!)=4$ e il numero di casi totali è $(2^4)=16$. Da cui il 25%. E fin qui va bene. Volevo far vedere che con 100 monete la possibilità di ottenere 75 teste è più bassa di veramente tanto: le combinazioni valide sono $((100),(75))=(100!)/(75!*25!)=(9.33*10^157)/((2.48*10^109)*(1.55*10^25))=2.43*10^23$ i casi totali sono $2^100=1.27*10^30$. La probabilità diventa quindi $1.91*10^{-7}$, che è molto bassa, come atteso. In realtà mi sono reso conto che concretamente per il mio problema (sapere quanto è bravo un giocatore ad un gioco sapendo le sue statistiche di vittoria, meta peraltro ancora molto distante...) mi interessava sapere qual è la probabilità che possa ottenere almeno i tre quarti di teste... Beh, per 4 monete non è difficile, ma per 100? Non sono riuscito a risolvere $\sum_{i=75}^100(((100),(i)))/(2^100)=(1)/(2^100)*\sum_{i=75}^100(100!)/(i!*(100-i)!)=(100!)/(2^100)*\sum_{i=75}^100(1)/(i!*(100-i)!)$. Si può risolvere? C'è un modo più furbo di impostare il problema che aiuta ad avere una formula più "malleabile"?
Grazie di cuore dal
Gabbiano
Sto lavorando ad un problema e fatico a riacquisire le mie conoscenze di - ahimé - 25 anni fa: lancio 4 monete. Qual è la probabilità di ottenere 3 teste? 25% e si ottiene notando che il numero di combinazioni possibili con tre teste è $((4),(3))=(4!)/(3!*1!)=4$ e il numero di casi totali è $(2^4)=16$. Da cui il 25%. E fin qui va bene. Volevo far vedere che con 100 monete la possibilità di ottenere 75 teste è più bassa di veramente tanto: le combinazioni valide sono $((100),(75))=(100!)/(75!*25!)=(9.33*10^157)/((2.48*10^109)*(1.55*10^25))=2.43*10^23$ i casi totali sono $2^100=1.27*10^30$. La probabilità diventa quindi $1.91*10^{-7}$, che è molto bassa, come atteso. In realtà mi sono reso conto che concretamente per il mio problema (sapere quanto è bravo un giocatore ad un gioco sapendo le sue statistiche di vittoria, meta peraltro ancora molto distante...) mi interessava sapere qual è la probabilità che possa ottenere almeno i tre quarti di teste... Beh, per 4 monete non è difficile, ma per 100? Non sono riuscito a risolvere $\sum_{i=75}^100(((100),(i)))/(2^100)=(1)/(2^100)*\sum_{i=75}^100(100!)/(i!*(100-i)!)=(100!)/(2^100)*\sum_{i=75}^100(1)/(i!*(100-i)!)$. Si può risolvere? C'è un modo più furbo di impostare il problema che aiuta ad avere una formula più "malleabile"?
Grazie di cuore dal
Gabbiano
Risposte
Innanzitutto benvenuto!
Una variabile aleatoria $X$ che conta il numero di teste in $n$ prove indipendenti si può modellare con una Binomiale:
$Pr[X=k]=((n),(k))p^k(1-p)^(n-k)$ (1)
dove $p=1/2$ è la probabilità di avere testa in una singola prova, $k$ conta i successi e $n-k$ conta gli insuccessi.
La probabilità di ottenere almeno $k$ teste in $n$ prove è:
$Pr[X>=k]=sum_(i=k)^n ((n),(i))p^i(1-p)^(n-i)$ (2)
per calcolare agevolmente (2) bisogna far ricorso al Teorema Centrale del Limite che, applicato a questo caso, dice che $X$, per $n$ sufficientemente grande, tende ad una variabile aleatoria Gaussiana $Y$ di media $mu=np$ e varianza $sigma^2=np(1-p)$, e perciò si può scrivere:
$Pr[X>=k]\approx Pr[Y>=k]=Pr[(Y-mu)/sigma>=(k-mu)/sigma]=1-Phi((k-mu)/sigma)=1-int_(-infty)^((k-mu)/sigma) 1/sqrt(2pi)e^(-x^2/2)dx$
dove la funzione $Phi(.)$ è la probabilità cumulata per una variabile aleatoria Gaussiana di media 0 e varianza 1.
In questo specifico caso:
$Pr[X>=k]\approx 1-Phi((k-mu)/sigma)=1-Phi((75-50)/5)\approx 2.87*10^(-7)$
Una variabile aleatoria $X$ che conta il numero di teste in $n$ prove indipendenti si può modellare con una Binomiale:
$Pr[X=k]=((n),(k))p^k(1-p)^(n-k)$ (1)
dove $p=1/2$ è la probabilità di avere testa in una singola prova, $k$ conta i successi e $n-k$ conta gli insuccessi.
La probabilità di ottenere almeno $k$ teste in $n$ prove è:
$Pr[X>=k]=sum_(i=k)^n ((n),(i))p^i(1-p)^(n-i)$ (2)
per calcolare agevolmente (2) bisogna far ricorso al Teorema Centrale del Limite che, applicato a questo caso, dice che $X$, per $n$ sufficientemente grande, tende ad una variabile aleatoria Gaussiana $Y$ di media $mu=np$ e varianza $sigma^2=np(1-p)$, e perciò si può scrivere:
$Pr[X>=k]\approx Pr[Y>=k]=Pr[(Y-mu)/sigma>=(k-mu)/sigma]=1-Phi((k-mu)/sigma)=1-int_(-infty)^((k-mu)/sigma) 1/sqrt(2pi)e^(-x^2/2)dx$
dove la funzione $Phi(.)$ è la probabilità cumulata per una variabile aleatoria Gaussiana di media 0 e varianza 1.
In questo specifico caso:
$Pr[X>=k]\approx 1-Phi((k-mu)/sigma)=1-Phi((75-50)/5)\approx 2.87*10^(-7)$
Ma che carino! Eh, la matematica è sempre molto bella. Molto chiaro...
Grazie mille... Leggendo, le formule escono fuori come fantasmi dalla memoria!
Ora ci studio un po' applicando al mio caso e tra un po' mi faccio vivo per sapere se ho applicato bene.
Grazie ancora!
Gabbiano
Grazie mille... Leggendo, le formule escono fuori come fantasmi dalla memoria!
Ora ci studio un po' applicando al mio caso e tra un po' mi faccio vivo per sapere se ho applicato bene.
Grazie ancora!
Gabbiano
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