Probabilità seconda estrazione?

[Umberton1]

Salve, mu trovo di fronte a questo problema di probabilità il cui testo dice
"Supponiamo che da un'urna contenente 7 palline bianche e 5 nere si estraggono due palline, senza sostituzione delle palline estratte. Calcolare la probabilità che la seconda pallina sia nera nell'ipotesi che la prima pallina sia stata nera e che ogni pallina nell'urna abbia la stessa probabilità di essere estratta".
Venendo estratta la prima pallina nera all'interno del urna vi saranno $7/11$ palline bianche mentre le nere $4/11$. A questo punto per calcolare la probabilità che venga estratta un'altra pallina nera devo usare la formula di bayes?

[Magma1]

"Umberton": "Supponiamo che da un'urna contenente 7 palline bianche e 5 nere si estraggono due palline, senza sostituzione delle palline estratte. Calcolare la probabilità che la seconda pallina sia nera nell'ipotesi che la prima pallina sia stata nera e che ogni pallina nell'urna abbia la stessa probabilità di essere estratta".

Ha $12$ palline di cui ${ ( 7 \text{ bianche} ),( 5 \text{ nere} ):}$ e ne estrai due.

Ora, con "senza sostituzione" non capisco che intendi: se l'estrazione fosse "con sostituzione" con cosa andrebbero sostitute?

Nell'ipotesi che l'estrazione sia "senza reimmissione", voliamo sapere quanto è la probabilità che esca una seconda pallina nera, sapendo che la prima estratta sia stata anch'essa nera; ovvero:

$ P(2N|1N)=(P(2N nn 1N))/(P(1N))=(P(\text{estrarre due palline nere}))/(P(1N))=(5/12*4/11)/(5/12)$

Una soluzione più rapida e intuitiva equivale a ragionare direttamente sullo spazio ridotto; ovvero

hai $11$ palline di cui ${ ( 7 \text{ bianche} ),( 4 \text{ nere} ):}$, per cui

$P(\text{estrarre una pallina nera})=4/11$

"Umberton":
Venendo estratta la prima pallina nera all'interno del urna vi saranno $7/11$ palline bianche mentre le nere $4/11$.

La palline sono dei numeri interi...

[Umberton1]

Grazie per la risposta, hai invertito un po' tra numero di palline bianche e nere però il senso è quello.
L'unica cosa è che non ho capito perché mettere alnumeratore la probabilità di estrazione della pallina della prima urna per quella della seconda estrazione, considerando il nuovo numero di palline e probabilità, fratto il la probabilità di estrazione delle nere considerando la prima estrazione.

$ P(2N|1N)=(P(2N nn 1N))/(P(1N))=(P(\text{estrarre due palline nere}))/(P(1N))=(7/12*6/11)/(7/12)$

[Magma1]

"Umberton":Grazie per la risposta, hai invertito un po' tra numero di palline bianche e nere però il senso è quello.

Oppss... Ora correggo il post precedente.

"Umberton":
L'unica cosa è che non ho capito perché mettere al numeratore la probabilità di estrazione della pallina della prima urna per quella della seconda estrazione, considerando il nuovo numero di palline e probabilità, fratto il la probabilità di estrazione delle nere considerando la prima estrazione.

Perché

$P(A|B)=(P(AnnB))/(P(B))$

[Umberton1]

Quindi la mia idea di risolverlo con bayes era errata?

[Magma1]

Ovvero come? Scrivi le formule