[Probabilità] Prove intermedie

[Quinzio]

Uno studente deve dare 3 prove intermedie in vista di un esame.
Una prova può essere sostenuta se si supera la precedente.
Sia dato:
$P[A] = 0.9$
$P[B|A] = 0.8$
$P[C|AB] = 0.7$

Sapendo cho lo studente non ha superato tutte tre le prove qual è la probabilità condizionata che abbia fallito la seconda ?
E' sullo Sheldon Ross cap 3 prob 12

A parte che secondo me la richiesta è un po' ambigua, gli unici casi possibili in cui si sostiene la seconda prova (sapendo di sbaglirne almeno uno, ovvero di non averle superate tutte tre) sono $AB^C$ e $ABC^C$

$P[AB^C]=0.2*0.9=0.18$
$P[ABC^C]=0.3*0.8*0.9=0.216$

Ora secondo me la probabiltà cercata è
$(P[AB^C])/(P[AB^C]+P[ABC^C])=0.455$

Il libro da come risultao $0.3629$, quindi ho cercato di andare un po' a tentativi e provando alcuni ragionamenti alternativi, sono arrivato a dedurre che l'autore fa questo ragionamento:
$(P[AB^C])/(1-P[ABC]) = (0.18)/(1-0.9*0.8*0.7)=0.3629$

Non so, secondo me il ragionamento dell'autore non è corretto, perchè contempla anche il caso $A^C$, ma in questo caso non si sostiene la seconda prova, quindi non ha senso calcolare le probabilità di fallimento di un esperimento che non viene neanche effettuato. D'altra parte il Ross mi sembra affidabile come libro e penso di aver sbagliato qualcosa io.
Come si spiega tutto ciò?

[stormy1]

chiamiamo $N$ l'evento "non superamento di tutte le prove"
si ha $p(B^c|N)=(p(B^c cap N))/(p(N))=(p(A B^c))/(p(A^c)+p(AB^c)+p(ABC^c))$

[Quinzio]

D'accordo, ma in caso si verifichi $A^C$, la prova $B$ non viene neanche effettuata, quindi non ha senso parlare di probabilità di $B$, perchè proprio non esiste la prova $B$.
In altri termini $p[B^C|A^C]$, che senso ha ? La prova $B$ non si effettua.

[stormy1]

in generale vale sempre la formula $p(X|Y)=(P(X cap Y))/(p(Y))$
e non c'è dubbio che $p(N)$ sia uguale a ciò che ho scritto