Probabilità prodotto e probabilità condizionata

[fbafkis]

Salve!

Ho un problema che ho risolto:

Aldo, Giovanni e Giacomo devono sostenere un esame in cui ciascuno di essi ha una probabilità pari a 0.62, 0.89 e 0.63, rispettivamente, di essere promossi indipendentemente dall'esito degli esami degli altri.

1. Qual è la probabilità che gli esiti di Aldo e di Giovanni siano diversi (cioè uno dei due sia promosso e l'altro bocciato)?

2. Se gli esiti di Aldo e di Giovanni sono diversi, qual è la probabilità che il promosso sia Aldo?

3. Se l'esito di Aldo è diverso sia da quello di Giovanni sia da quello di Giacomo, qual è la probabilità che Aldo sia promosso?

e volevo chiedere conferma dell'approccio (suggeritomi ieri da tommik,che ringrazio ancora, per un problema analogo).

Il testo dichiara che gli eventi sono stocasticamente indipendenti, quindi si può applicare la probabilità prodotto:

indipendentemente dall'esito degli esami degli altri.

Quindi ho creato la tabellina con gli eventi elementari possibili e le relative probabilità (degli eventi complementari nel caso in cui l'esame non sia passato da un personaggio):



La somma delle probabilità fa 1, che è la probabilità dello spazio campionario, quindi dovrebbe essere giusto.

[*:1xt2ofsg]La prima domanda l'ho risolta sommando le probabilità di quegli eventi in cui Aldo e Giovanni hanno due esiti diversi, quindi:

$Pr("Aldo"\ne"Giovanni")= 0,025+0,125+0,043+0,213=0,406$

[/*:m:1xt2ofsg]
[*:1xt2ofsg]La seconda domanda invece prevedeva l'utilizzo della probabilità condizionata, perché viene specificato che gli esiti di Aldo e Giovanni sono diversi:

Se gli esiti di Aldo e di Giovanni sono diversi,



Quindi di dovrà calcolare la probabilità che Aldo sia promosso condizionata dall'evento che Aldo e Giovanni hanno ottenuto due risultati diversi: $Pr(A|(A\neG)) = (Pr("Aldo è promosso"\cap"Aldo e Giovanni hanno risultati diversi"))/(Pr("Aldo e Giovanni hanno risultati diversi")) = (0,068)/(0,406) = 0,168$
[/*:m:1xt2ofsg]
[*:1xt2ofsg]La terza domanda si dovrebbe risolvere in maniera analoga alla seconda:

$Pr("Aldo promosso" | "A\ne(G,J)) = (0,025)/(0,238) = 0,105$

[/*:m:1xt2ofsg][/list:u:1xt2ofsg]

MI piacerebbe avere conferma del mio ragionamento. L'unico dubbio è sul fatto che le risposte alla seconda e alla terza domanda non prevedano la probabilità condizionata. Grazie mille!

[Lo_zio_Tom]

Perfetto!

Ovviamente ci sono soluzioni più snelle, soprattutto per il primo quesito

$0.62*0.11+0.38*0.89=0.406$

[caramelleamare]

"tommik":Perfetto!

Ovviamente ci sono soluzioni più snelle, soprattutto per il primo quesito

$0.62*0.11+0.38*0.89=0.406$

Ciao, evidentemente con fbafkis seguiamo lo stesso corso. Anche io sono giunto alla stessa risoluzione, con numeri di partenza e quindi risultati diversi.
Non sapevo dell'esistenza della tabella dei possibili casi da sfruttare quindi, dando per identico il testo dell'esercizio visto che cambiano solo i numeri, e considerando $\text{Aldo = A, Giovanni = B e Giacomo = C}$, ho fatto così(chiedo per capire se il ragionamento va bene). Ai punti:

1) Ho descritto l'evento così(lo assegno a pr1 per riusarlo al punto 2): $pr1 = Pr((A^c nn B) uu (A nn B^c))$ eseguendo poi moltiplicazioni e addizione.

2) Ho considerato la probabilità condizionata che accada A sapendo che deve essere $A!=B$:
$Pr(A | (A^cnnB)+(AnnB^c)) = \frac{Ann((A^cnnB)uu(AnnB^c))}{pr1} = ... = \frac{0uu(AnnB^c)}{pr1} = \frac{(AuuB^c)}{pr1} = \text{risultato} $

3) Ho considerato appunto l'evento condizionante $H = ((AnnB^cnnC^c)uu(A^cnnBnnC))$ dove come unione degli eventi dove A è diverso contemporaneamente da B e C e quindi la probabilità condizionata:
$Pr=(A | H) = \frac{Ann(H)}{H} = ... = \frac{AnnB^cnnC^cuu0}{H} = \text{risultato}$

Sono corretti i ragionamenti?

[fbafkis]

Per quello che abbiamo fatto fino ad ora (UniTN corso di informatica) credo convenga fare come ho fatto io, con la tabella, le somme delle probabilità e quando serve la probabilità condizionata.