Probabilità massima
Ciao a tutti, sono alle prese con un problema per me un po' ostico.
Un risparmiatore investe in borsa il suo denaro. Supponendo che abbia eguale probabilità di guadagnare o perdere l'1% ogni giorno, calcolare qual è il risultato più probabile del suo investimento dopo 1000 giorni.
Potreste darmi qualche dritta?
Un risparmiatore investe in borsa il suo denaro. Supponendo che abbia eguale probabilità di guadagnare o perdere l'1% ogni giorno, calcolare qual è il risultato più probabile del suo investimento dopo 1000 giorni.
Potreste darmi qualche dritta?
Risposte
Se guadagna $g$ volte e perde $p$ volte, è necessario sapere l'ordine in cui sono successi i guadagni e le perdite?
Ai fini del calcolo delle probabilità, no
E il valore più probabile di $g$ quant'è?
Questo mi sfugge. Ho provato a massimizzare la distribuzione bernoulliana ma è impossibile. XD
Comunque sto pensando che forse l'ordine è pure importante, perché occorre incrementare o diminuire la somma investita di una percentuale e non di una quantità fissa
Comunque sto pensando che forse l'ordine è pure importante, perché occorre incrementare o diminuire la somma investita di una percentuale e non di una quantità fissa
"_clockwise":
Questo mi sfugge. Ho provato a massimizzare la distribuzione bernoulliana ma è impossibile. XD
Perché Bernoulliana?
"_clockwise":
Comunque sto pensando che forse l'ordine è pure importante, perché occorre incrementare o diminuire la somma investita di una percentuale e non di una quantità fissa
Dopo 600 guadagni e 400 perdite per cosa moltiplichi?
"ghira":
Perché Bernoulliana?
Perché ho pensato che la situazione si potrebbe modellizzare come una prova ripetuta 1000 volte. Il problema è che qui ci sono tre eventi: guadagno, perdita, né guadagno né perdita.
"ghira":
Dopo 600 guadagni e 400 perdite per cosa moltiplichi?
Forse ci sono. Se $s_n\in\mathbb{R}^+$ è la somma rimanente dopo $n$ giorni, allora per un guadagno $s_n=1.01s_{n-1}$ (ovvero, se si verificano solo guadagni, $s_n=s_0\cdot1.01^n, \forall n\le 1000$) e per una perdita $s_n=0.99s_{n-1}$ (ovvero, se si verificano solo perdite, $s_n=s_0\cdot0.99^n, \forall n\le 1000$).
Quindi dopo 600 guadagni e 400 perdite la somma rimanente dovrebbe essere $s=s_0\cdot1.01^{600}\cdot0.99^{400}$.
"_clockwise":
[quote="ghira"]Perché Bernoulliana?
Perché ho pensato che la situazione si potrebbe modellizzare come una prova ripetuta 1000 volte. Il problema è che qui ci sono tre eventi: guadagno, perdita, né guadagno né perdita.
[/quote]
"né guadagno né perdita" è possibile?
$1.01$ e $0.99$, no?
"ghira":
1.01 e 0.99, no?
Sì, scusami!
"ghira":
"né guadagno né perdita" è possibile?
Se $p$ è la probabilità di guadagno, e quindi di perdita, non dobbiamo considerare anche l'evento contrario di probabilità $1-2p$ (ammesso che $0\le p<0.5$)?
"_clockwise":
Se $p$ è la probabilità di guadagno, e quindi di perdita, non dobbiamo considerare anche l'evento contrario di probabilità $1-2p$ (ammesso che $0\le p<0.5$)?
E come? Credo che $p$ debba essere $0.5$ altrimenti non possiamo procedere.
Ok. A questo punto userei Bernoulli:
Il massimo valore si ha per $k=500$. Per cui, se $s_0$ è la somma iniziale e $s$ quella finale, abbiamo:
È così?
\(p(k)=\displaystyle\binom{1000}{k}p^kp^{1000-k}=\displaystyle\binom{1000}{k}p^{1000}\).
Il massimo valore si ha per $k=500$. Per cui, se $s_0$ è la somma iniziale e $s$ quella finale, abbiamo:
\(s=s_0\cdot1.01^{500}\cdot0.99^{500}=s_0\cdot0.9999^{500}\approx0.951s_0\).
È così?
(In realtà effettivamente Bernoulli non era proprio necessario...!)
"_clockwise":
Ok. A questo punto userei Bernoulli:
Bernoulli? Magari c'è qualcosa che mi sfugge.
"_clockwise":
\(s=s_0\cdot1.01^{500}\cdot0.99^{500}=s_0\cdot0.9999^{500}\approx0.951s_0\).
È così?
Sì.
Vedevo la situazione come una ripetizione di 1000 prove. Conosco la probabilità dell'evento "guadagno" ($p$) e quella dell'evento contrario "perdita" (sempre $p$), per cui l'espressione della probabilità che l'evento "guadagno" si verifichi $k$ volte su 1000 è quella funzione (perdonami l'abuso di linguaggio) di $k$. Siccome cerco la probabilità massima e quel coefficiente binomiale è massimo per $k=500$, allora concludo che nel caso più probabile il risparmiatore guadagna 500 volte. Le restanti 500 chiaramente perde.
Grazie dell'aiuto! A me però non è ancora chiarissimo il motivo per cui ignoriamo l'evento "né guadagno né perdita". Nel testo non si legge che il risparmiatore o guadagna o perde, e $p$ potrebbe anche valere 10% ad esempio, no? Se la probabilità di questo evento è nulla, il che è poi quello che abbiamo assunto finora, il problema si semplifica tantissimo. O forse, in caso contrario, è irrisolvibile e non me ne rendo conto...!
Grazie dell'aiuto! A me però non è ancora chiarissimo il motivo per cui ignoriamo l'evento "né guadagno né perdita". Nel testo non si legge che il risparmiatore o guadagna o perde, e $p$ potrebbe anche valere 10% ad esempio, no? Se la probabilità di questo evento è nulla, il che è poi quello che abbiamo assunto finora, il problema si semplifica tantissimo. O forse, in caso contrario, è irrisolvibile e non me ne rendo conto...!
"_clockwise":
A me però non è ancora chiarissimo il motivo per cui ignoriamo l'evento "né guadagno né perdita".
Perché, magari implicitamente, non esiste.
Ciao, intervengo solo per un'annotazione banale, quindi chiedo venia preventivamente.
Quando si parla di un capitale iniziale C la cui variazione è soggetta a più o meno una percentuale con la medesima probabilità di accadere, è chiaro che l'investitore tenderà a finire in perdita nel lungo periodo per la legge dei grandi numeri.
Infatti c'è una grande differenza fra, per esempio, perdere il 50% e poi guadagnare il 50%. Alla fine il capitale è ridotto a 3/4: non c'è simmetria fra vincita e perdita. Accade ovviamente anche con $+-1%$ ma con perdite prevedibili più contenute.
Quando si parla di un capitale iniziale C la cui variazione è soggetta a più o meno una percentuale con la medesima probabilità di accadere, è chiaro che l'investitore tenderà a finire in perdita nel lungo periodo per la legge dei grandi numeri.
Infatti c'è una grande differenza fra, per esempio, perdere il 50% e poi guadagnare il 50%. Alla fine il capitale è ridotto a 3/4: non c'è simmetria fra vincita e perdita. Accade ovviamente anche con $+-1%$ ma con perdite prevedibili più contenute.
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