[Probabilità] Marginale di una densità congiunta
Sia $f(x, y)$ la densità congiunta di $X$ e $Y$, $f(x, y) = 24xy$ se $0\leqx\leq1$, $0\leqy\leq1$, $0\leqx+y\leq1$.
Il mio dubbio è come calcolarmi la marginale di $X$. Fin'ora avevo sempre integrato nel campo di esistenza della $Y$, ma dipendendo questo anche da $X$ mi è venuto qualche dubbio (anche perchè il risultato non coincide, chiedeva la media di $X$
).
Ho provato, per trovarmi la marginale di $X$, $f_X(x) = \int_0^(1-x)f(x,y)dy$ in quanto $y$ varia tra $0$ e $1 -x$... ma così facendo non mi trovo e sopratutto non trovo quale dovrebbe essere il dominio della mia marginale di $X$.
Il mio dubbio è come calcolarmi la marginale di $X$. Fin'ora avevo sempre integrato nel campo di esistenza della $Y$, ma dipendendo questo anche da $X$ mi è venuto qualche dubbio (anche perchè il risultato non coincide, chiedeva la media di $X$
).Ho provato, per trovarmi la marginale di $X$, $f_X(x) = \int_0^(1-x)f(x,y)dy$ in quanto $y$ varia tra $0$ e $1 -x$... ma così facendo non mi trovo e sopratutto non trovo quale dovrebbe essere il dominio della mia marginale di $X$.
Risposte
non capisco la tua perplessità...
L'insieme in cui vive $f(x,y)$ è $E={(x,y)|x\in[0,1],y\in[0,1], -x<=y<=1-x}={(x,y)|x\in[0,1],0<=y<=1-x}
Scritto in altro modo avari che $E(x)=[0,1-x]$.
Quello che avrai, come hai detto te è che $f_X(x)=int_{E(x)}f(x,y)dx=int_0^{1-x}24xy dy=24x [y^2/2]_0^{1-x}=24x(1-x)^2/2=12x(1-x)^2$.
a questo punto il domnio della $X$ non varia, rimane l'intervallo $[0,1]$.
la media sarà quindi $E(X)=\int_0^1 12x^2(1-x)^2dx$. Ti ritrovi?
L'insieme in cui vive $f(x,y)$ è $E={(x,y)|x\in[0,1],y\in[0,1], -x<=y<=1-x}={(x,y)|x\in[0,1],0<=y<=1-x}
Scritto in altro modo avari che $E(x)=[0,1-x]$.
Quello che avrai, come hai detto te è che $f_X(x)=int_{E(x)}f(x,y)dx=int_0^{1-x}24xy dy=24x [y^2/2]_0^{1-x}=24x(1-x)^2/2=12x(1-x)^2$.
a questo punto il domnio della $X$ non varia, rimane l'intervallo $[0,1]$.
la media sarà quindi $E(X)=\int_0^1 12x^2(1-x)^2dx$. Ti ritrovi?
Se capisco il dubbio, puoi immaginare che la densità sia definita sul quadrato di lato 1, ma che sia positiva solo nel triangolo.
Ok grazie a tutti e due 
In effetti all'inizio ero partito senza troppi dubbi come fu^2, ma visto che il risultato finale non veniva (ed essendo la prima volta che affrontavo un esercizio simile) ho pensato di aver commesso qualche errore teorico (il periodo pre-esami gioca brutti scherzi
)
In effetti all'inizio ero partito senza troppi dubbi come fu^2, ma visto che il risultato finale non veniva (ed essendo la prima volta che affrontavo un esercizio simile) ho pensato di aver commesso qualche errore teorico (il periodo pre-esami gioca brutti scherzi
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