Probabilità k-uple ordinate
Salve, gente! Mi serve una mano con la comprensione di un esercizio risolto che ho trovato sul mio libro di probabilità (Calcolo delle probabilità, Sheldon M. Ross).
<<
Supponiamo di dover selezionare a caso 5 persone da un gruppo di 20 individui formato da 10 coppie sposate e che si sia interessati a calcolare la probabilità P(N) che i cinque individui non siano in relazione tra loro, ovvero che non ce ne siano due tra loro sposati. Se consideriamo lo spazio campionario formato dalle cinquine di persone estratte, esso sarà formato da [20 5] esiti equiprobabili. Un esito che non contenga alcuna coppia sposata può essere pensato come il risultato di un esperimento in sei passi: al primo passo si scelgono 5 delle 10 coppie che dovranno avere un membro nel gruppo scelto; ai cinque passi successivi uno dei 2 membri di ogni coppia selezionata dovrà poi essere scelto. Perciò ci saranno $ ( ( 10 ),( 5 ) ) * 2^5 $ possibili esiti nei quali 5 persone selezionate non sono in relazione tra loro, e la probabilità desiderata sarà
P(N) = $ ( ( ( 10 ),( 5 ) ) * 2^5 ) / ( ( ( 20 ),( 5 ) ) ) $
Al contrario possiamo decidere di tener conto dell'ordine nel selezionare le 5 persone. In questo caso ci sono 20 * 19 * 18 * 17 * 16 possibili cinquine ordinate di persone, delle quali 20 * 18 * 16 * 14 * 12 risultano formate da un gruppo di 5 persone che non siano in relazione tra loro, che porta al seguente risultato
P(N) = $ (20 * 18 * 16 * 14 * 12) / (20 * 19 * 18 * 17 * 16) $
>>
Ora, quello che non capisco io è:
1) perché moltiplico le combinazioni possibili delle coppie per $ 2^5 $?
2) Perché la probabilità tenendo conto dell'ordine è quella roba?
Come al solito, grazie mille per l'aiuto
<<
Supponiamo di dover selezionare a caso 5 persone da un gruppo di 20 individui formato da 10 coppie sposate e che si sia interessati a calcolare la probabilità P(N) che i cinque individui non siano in relazione tra loro, ovvero che non ce ne siano due tra loro sposati. Se consideriamo lo spazio campionario formato dalle cinquine di persone estratte, esso sarà formato da [20 5] esiti equiprobabili. Un esito che non contenga alcuna coppia sposata può essere pensato come il risultato di un esperimento in sei passi: al primo passo si scelgono 5 delle 10 coppie che dovranno avere un membro nel gruppo scelto; ai cinque passi successivi uno dei 2 membri di ogni coppia selezionata dovrà poi essere scelto. Perciò ci saranno $ ( ( 10 ),( 5 ) ) * 2^5 $ possibili esiti nei quali 5 persone selezionate non sono in relazione tra loro, e la probabilità desiderata sarà
P(N) = $ ( ( ( 10 ),( 5 ) ) * 2^5 ) / ( ( ( 20 ),( 5 ) ) ) $
Al contrario possiamo decidere di tener conto dell'ordine nel selezionare le 5 persone. In questo caso ci sono 20 * 19 * 18 * 17 * 16 possibili cinquine ordinate di persone, delle quali 20 * 18 * 16 * 14 * 12 risultano formate da un gruppo di 5 persone che non siano in relazione tra loro, che porta al seguente risultato
P(N) = $ (20 * 18 * 16 * 14 * 12) / (20 * 19 * 18 * 17 * 16) $
>>
Ora, quello che non capisco io è:
1) perché moltiplico le combinazioni possibili delle coppie per $ 2^5 $?
2) Perché la probabilità tenendo conto dell'ordine è quella roba?
Come al solito, grazie mille per l'aiuto
Risposte
1) per ogni coppia, hai due persone da scegliere;
2) indica il percorso: dalla prima alla quinta estrazione, a caso puoi scegliere tra 20, 19, 18, 17, 16 persone, ma nei casi favorevoli se estrai un elemento della coppia devi eliminare anche l'altro per la successiva estrazione.
spero sia chiaro. ciao.
2) indica il percorso: dalla prima alla quinta estrazione, a caso puoi scegliere tra 20, 19, 18, 17, 16 persone, ma nei casi favorevoli se estrai un elemento della coppia devi eliminare anche l'altro per la successiva estrazione.
spero sia chiaro. ciao.
Comunque gira e rigira, il risultato è sempre quello!!
$168/323$
E d'altra parte non poteva essere diversamente, visto che devo calcolare la probabilità che ciò avvenga.
Ci sarebbero stati 2 risultati diversi, se la domanda fosse stata "Quante sono....?"
$168/323$
E d'altra parte non poteva essere diversamente, visto che devo calcolare la probabilità che ciò avvenga.
Ci sarebbero stati 2 risultati diversi, se la domanda fosse stata "Quante sono....?"
"Per ogni coppia hai due persone da scegliere"
Appunto non capisco... io ho una persona da scegliere per ogni coppia, non due... allora perché $ 2^5 $ ?
Appunto non capisco... io ho una persona da scegliere per ogni coppia, non due... allora perché $ 2^5 $ ?
non è probabilità, "uno su due", è il numero di scelte, cioè 2 per la prima coppia, 2 per la seconda,...., due per la quinta: le scelte sono indipendenti, quindi $2*2*2*2*2=2^5$
Giusto! Grazie, ora è più chiaro
prego!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo