Probabilità figurine di un album

[bius88]

Salve a tutti, posto un altro esercizio ma questa volta non ho proprio idea di come va fatto.

Un collezionista ha già raccolto 70 figurine delle 90 di album. Egli acquista una busta contenente 18 figurine (tutte diverse), tra le quali naturalmente ce ne possono essere alcune che egli già possiede. Qual è la probabilità che tra le figurine appena acquistate ce ne siano più ($>=$) di 15 di quelle che egli già possiede?

Datemi una mano, grazie.

[cenzo1]

Le 90 figurine si suddividono in due insiemi, quello A delle 70 figurine presenti e quello B delle 20 mancanti.

Casi totali: in quanti modi puoi scegliere 18 figurine dal gruppo di 90 ?

Casi favorevoli (somma di quattro addendi): i modi in cui puoi scegliere 15 figurine dal gruppo A e 3 dal gruppo B; oppure 16 dal gruppo A e 2 dal gruppo B, 17 da A e 1 da B, 18 da A e 0 da B.

(la distribuzione di riferimento è quella ipergeometrica)

P.S. Se ti interessa anche la probabilità di completare un album di figurine vedi qui.

[bius88]

"cenzo":Casi totali: in quanti modi puoi scegliere 18 figurine dal gruppo di 90 ?

$C_N,n=(N!)/(n!*(N-n)!)=C_90,18=(90!)/(18!*(90-18)!)=(90!)/(18!*72!)$ Ma come si risolve? la calcolatrice il fattoriale di $72$ e $90$ non lo calcola...

La v.c. ipergeometrica non la so applicare...

$P(X=x)=(((r),(x))*((N-r),(n-x)))/(((r),(x)))$ rappresenta la probabilità di estrarre $x$ elementi del primo tipo da un campione di numerosità $n$ estratto dalla popolazione di ampiezza $N$
Nel nostro caso $x=15$, e gli altri?

[cenzo1]

"bius88":$P(X=x)=(((r),(x))*((N-r),(n-x)))/(((r),(x)))$ rappresenta la probabilità di estrarre $x$ elementi del primo tipo da un campione di numerosità $n$ estratto dalla popolazione di ampiezza $N$

Nella formula che hai riportato c'è un errore al denominatore (penso dovuto ad un copia incolla.. )
Comunque è come hai intuito, quindi $P(15)=(((70),(15))((20),(3)))/(((90),(18)))$, analogamente per gli altri tre casi.
E' vero quello che dici sulla difficoltà di calcolare a mano il risultato... con un foglio di calcolo mi risulta $P(X>=15)\sim0.389$

In alternativa, potresti approssimare con una binomiale con $p=70/90$ e $n=18$. In tal caso mi risulta $P(X>=15)\sim0.409$

[bius88]

"cenzo":Nella formula che hai riportato c'è un errore al denominatore (penso dovuto ad un copia incolla.. )

Si vero, e hai anche capito il perchè!! La formula corretta è $P(X=x)=(((r),(x))*((N-r),(n-x)))/(((N),(n)))$

Quindi basta solo l'ipergeometrica? $0.389$ è la probabilità di trovare $>=15$ figurine doppioni?

[cenzo1]

"bius88":Quindi basta solo l'ipergeometrica? $0.389$ è la probabilità di trovare $>=15$ figurine doppioni?

Il modello ipergeometrico mi sembra quello corretto per il tuo problema (fermo restando le difficoltà di calcolo manuale).

$P(X>=15)=P(15)+P(16)+P(17)+P(18)=(((70),(15))((20),(3)))/(((90),(18)))+(((70),(16))((20),(2)))/(((90),(18)))+(((70),(17))((20),(1)))/(((90),(18)))+(((70),(18))((20),(0)))/(((90),(18)))\sim0.389$

[bius88]

ok grazie...anche se all'esame la vedo dura con un modello del genere!