Probabilità estrazione elemento fissato
Buongiorno,
svolgendo il seguente esercizio
Sono arrivato alla conclusione che, essendo lo spazio degli esiti equiprobabili $((n),(k))$, la probabilità di estrarre la pallina prefissata è data da
Ora, se io avessi $n$ palline, di cui $m$ speciali, e volessi sapere la probabilità di estrarne $r
svolgendo il seguente esercizio
Un’urna contiene $n$ palline, delle quali una è speciale. Se estraiamo $k$ palline una alla volta, in modo tale che a ogni estrazione la probabilità di estrarre una qualunque delle palline rimanenti sia la stessa, qual è la probabilità che la pallina speciale sia estratta?
Sono arrivato alla conclusione che, essendo lo spazio degli esiti equiprobabili $((n),(k))$, la probabilità di estrarre la pallina prefissata è data da
$( ((1),(1)) ((n-1),(k-1)) ) / ( ((n),(k)) )$
Ora, se io avessi $n$ palline, di cui $m$ speciali, e volessi sapere la probabilità di estrarne $r
$( ((m),(r)) ((n-m),(k-r)) ) / ( ((n),(k)) )$ 
Risposte
"Magma":
...in modo tale che a ogni estrazione la probabilità di estrarre una qualunque delle palline rimanenti sia la stessa,
sei arrivato alla conclusione di usare la distribuzione Ipergeometrica, che serve per l'estrazione senza reimmissione. Considerando il testo invece propenderei per utilizzare un'altra distribuzione, che implichi la reimmissione della pallina non speciale nell'urna
Capisco che sia un problema interpretativo, e perciò ti scrivo la mia interpretazione (che non è l'inrterpretazione autentica)
Opinione sull'esercizio: quando uno che scrive un esercizio troppo semplice non sa come complicare la vita a chi deve risolverlo incasina il testo....
ciao
"tommik":
sei arrivato alla conclusione di usare la distribuzione Ipergeometrica, che serve per l'estrazione senza reimmissione. Considerando il testo invece propenderei per utilizzare un'altra distribuzione, che implichi la reimmissione della pallina non speciale nell'urna
Le varie distribuzioni le devo ancora vedere; intanto darò un'occhiata alla binomiale e ipergeometrica. In effetti sfruttandole gli esercizi sono immediati, però sono ancora rimasto allo svolgimento del tipo $(#E)/(#S)$, in quanto possibile traccia d'esame
"Magma":
...in modo tale che a ogni estrazione la probabilità di estrarre una qualunque delle palline rimanenti sia la stessa,
Capisco che sia un problema interpretativo, e perciò ti scrivo la mia interpretazione (che non è l'inrterpretazione autentica)
Opinione sull'esercizio: quando uno che scrive un esercizio troppo semplice non sa come complicare la vita a chi deve risolverlo incasina il testo....
Il testo è "calcolo delle probabilità" di Sheldon Ross.
OT: consiglieresti qualche libro in particolare?
no cazz....lo sheldon ross è un ottimo libro, ce l'ho anche io....nella versione in inglese...
Comunque nel caso specifico userei la CDF della distribuzione geometrica. La binomiale non va bene perché ci si ferma non appena estratta la pallina giusta. A questo punto il risultato è semplicemente $P(X<=k)=1-q^k$ dove $q=(n-1)/n$ è la probabilità di estrarre una pallina non speciale.
spero di essermi spiegato (un po' frettolosamente, dato che sto lavorando...)
la dimostrazione (fatta al volo!) è banale:
gli eventi di interesse sono questi:
1
01
001
0001
ecc ecc
ovvero
$p+qp+q^2p+...+q^(k-1)p=p[1+q+q^2+...+q^(k-1)]=p(1-q^k)/(1-q)=1-q^k$
Comunque nel caso specifico userei la CDF della distribuzione geometrica. La binomiale non va bene perché ci si ferma non appena estratta la pallina giusta. A questo punto il risultato è semplicemente $P(X<=k)=1-q^k$ dove $q=(n-1)/n$ è la probabilità di estrarre una pallina non speciale.
spero di essermi spiegato (un po' frettolosamente, dato che sto lavorando...)
la dimostrazione (fatta al volo!) è banale:
gli eventi di interesse sono questi:
1
01
001
0001
ecc ecc
ovvero
$p+qp+q^2p+...+q^(k-1)p=p[1+q+q^2+...+q^(k-1)]=p(1-q^k)/(1-q)=1-q^k$
"tommik":
no cazz....lo sheldon ross è un ottimo libro, ce l'ho anche io....nella versione in inglese...
Io ho la versione italiana (3a edizione). Se per curiosità volessi controllare il testo nella lingua madre l'esercizio dovrebbe essere Esempio 5d[nota]Se non sbaglio la traduzione della 3a edizione italiana è stata fatta dalla 9a edizione inglese.[/nota].
"tommik":
Comunque nel caso specifico userei la CDF della distribuzione geometrica. La binomiale non va bene perché ci si ferma non appena estratta la pallina giusta. A questo punto il risultato è semplicemente $P(X<=k)=1-q^k$ dove $q=(n-1)/n$ è la probabilità di estrarre una pallina non speciale.
gli eventi di interesse sono i seguenti
1
01
001
0001
00001
ecc ecc, tutti da sommare in probabilità fino all'evento con k estrazioni
mentre nella binomiale calcoli
100000000
010000000
001000000
ecc ecc (tutte stringhe di k elementi)
spero di essermi spiegato (un po' frettolosamente, dato che sto lavorando...)
Quando avrò studiato le distribuzioni, riprenderò questo post.
Ti ringrazio e buon lavoro!
"Magma":
Se per curiosità volessi controllare il testo nella lingua madre l'esercizio dovrebbe essere Esempio 5d
sì voglio! ma mi pare manchi il paragrafo 5.?.d
Comunque, anche senza sapere le distibuzioni risolviamo questo:
Abbiamo un'urna contenente 1 Bianca e 1 Nera. estraiamo una pallina alla volta e la reinseriamo nell'urna. Ci fermiamo quando estraiamo una bianca.
Calcolare la probabilità di estrarre la bianca entro la 10° estrazione
EDIT: e ripensandoci si può usare anche la binomiale, calcolando la probabilità complementare all'evento: non estrarre mai la pallina special: $1-q^k$
"tommik":
[quote="Magma"]Se per curiosità volessi controllare il testo nella lingua madre l'esercizio dovrebbe essere Esempio 5d
sì voglio! ma mi pare manchi il paragrafo 5.?.d
[/quote]
paragrafo "2.5 SPAZI CAMPIONARI CON ESITI EQUIPROBABILI" del capitolo "Capitolo 2 Assiomi della probabilità" quindi dovrebbe essere "esempio "2.5d"
"tommik":
Abbiamo un'urna contenente 1 Bianca e 1 Nera. estraiamo una pallina alla volta e la reinseriamo nell'urna. Ci fermiamo quando estraiamo una bianca.
faccio una piccola riesumazione di questo thread per provare a risolvere questo esercizio. avevo pensato a questo:
$P(X<=11)=1-P(X>11)=1-(1-p)^(11)$
erano entro 10 estrazioni.
Se cambi il numero di estrazioni non so se hai capito oppure no... quindi riprendendo il quesito viene $1-q^10$
Se vuoi usare la geometrica che conta i fallimenti invece dei tentativi allora devi fare $P(X<=9)=1-q^(9+1)$
Oppure puoi usare una binomiale e calcolare il complementare all'evento: non estraggo mai la bianca in 10 estrazioni
Quindi $1-((10),(10))p^0q^(10)=1-q^10$
PS: quando si parla di distribuzione geometrica è sempre bene specificare a quale ci si riferisce scrivendone la densità oppure il dominio....alcuni le chiamano geometrica e geometrica modificata, alcuni geometrica traslata ma non si capisce quale sia la traslata, se una o l'altra....la cosa migliore è sempre definire bene la densità. Puoi fare riferimento a Wiki in inglese, dove sono descrtitte entrambe
Stesso discorso per la Gamma.
"tommik":
Abbiamo un'urna contenente 1 Bianca e 1 Nera. estraiamo una pallina alla volta e la reinseriamo nell'urna. Ci fermiamo quando estraiamo una bianca.
Calcolare la probabilità di estrarre la bianca entro la 10° estrazione
Se cambi il numero di estrazioni non so se hai capito oppure no... quindi riprendendo il quesito viene $1-q^10$
Se vuoi usare la geometrica che conta i fallimenti invece dei tentativi allora devi fare $P(X<=9)=1-q^(9+1)$
Oppure puoi usare una binomiale e calcolare il complementare all'evento: non estraggo mai la bianca in 10 estrazioni
Quindi $1-((10),(10))p^0q^(10)=1-q^10$
PS: quando si parla di distribuzione geometrica è sempre bene specificare a quale ci si riferisce scrivendone la densità oppure il dominio....alcuni le chiamano geometrica e geometrica modificata, alcuni geometrica traslata ma non si capisce quale sia la traslata, se una o l'altra....la cosa migliore è sempre definire bene la densità. Puoi fare riferimento a Wiki in inglese, dove sono descrtitte entrambe
Stesso discorso per la Gamma.
si hai ovviamente ragione. dovrebbe essere tutto chiaro, grazie!
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