Probabilità elementare
Salve, ho cominciato oggi a seguire la prima lezione sul calcolo delle probabilità.
E' stato poi svolto un esercizio ma c'è un passaggio che non mi torna.
So che quella relazione è attuabile se e solo se tutti gli Eventi siano equiprobabili.
Ma in questo caso lo sono?
Cioè se per esempio scelgo il primo libro a caso ci sono più probabilità che sia di Matematica che di Chimica,dunque già una permutazione di tutte le possibili è più favorevole delle altre!
Spero sia stato chiaro.
Grazie per le risposte. Ciao
E' stato poi svolto un esercizio ma c'è un passaggio che non mi torna.
Ci sono 10 libri, 4 di Matematica,3 di Fisica,2 di Informatica e 1 di Chimica.
Qualè la probabilità che inserendoli a caso vengano ordinati per materia.
Viene utilizzata la seguente relazione:$p(E) = |E| / N $ dove |E| è la cardinalità degli eventi favorevoli ed N la cardinalità dello spazio campione.
So che quella relazione è attuabile se e solo se tutti gli Eventi siano equiprobabili.
Ma in questo caso lo sono?
Cioè se per esempio scelgo il primo libro a caso ci sono più probabilità che sia di Matematica che di Chimica,dunque già una permutazione di tutte le possibili è più favorevole delle altre!
Spero sia stato chiaro.
Grazie per le risposte. Ciao
Risposte
Fai un po' di confusione.
L'evento non è il singolo libro pescato, ma la sequenza di tutti i libri pescati.
Ad esempio un possibile evento è
M F I I C M M F M F
(con M intendo un libro di mate, con F di fisica, con I di informatica, con C di chimica)
Ecco, ora ti è chiaro che gli eventi sono equiprobabili
L'evento non è il singolo libro pescato, ma la sequenza di tutti i libri pescati.
Ad esempio un possibile evento è
M F I I C M M F M F
(con M intendo un libro di mate, con F di fisica, con I di informatica, con C di chimica)
Ecco, ora ti è chiaro che gli eventi sono equiprobabili
Si,credo di aver capito cosè l'evento in quel caso,ma per ora,resto convinto che:
Questo non pregiudica l'utilizza della relazione di cui sopra ?
M F I I C M M F M Fsia più probabile di
F M I I C M M F M Fperchè ho 4 libri di mate e 3 di Fisica.
Questo non pregiudica l'utilizza della relazione di cui sopra ?
I due eventi che hai scritto sono equiprobabili.
Cosa c'entra che ci sono 4 libri di mate e 3 di Fisica?
Cosa c'entra che ci sono 4 libri di mate e 3 di Fisica?
Nulla 
.
Ho fatto i conti ed ho capito,però all'inizio avevo dei dubbi.
Grazie per le risposte
.Ho fatto i conti ed ho capito,però all'inizio avevo dei dubbi.
Grazie per le risposte
Ho un altro esercizio da proporre:
Dato il sistema di sopra, definita $P(i)$ la probabilità di funzionamento
di un qualunque interruttore (ossia che sia abbassato) ,definire la probabilità
totale che la corrente scorra da A a B .
Come informazioni so che gli interruttori sono incorrelati fra loro.
Ossia il non funzionamento di uno non influenza nessun altro.
Vi dico come ho ragionato così potete correggermi:
Ho notato che i possibili passaggi sono:
[tex](1-4) (1-3-5) (2-5) ( 2-3-4)[/tex]
Definisco E come l'evento che almeno uno di quei passaggi sia attivo.
La probabilità che funzioni è data da :
$1 - P(E*)$ dove con $E*$ intendo il complementare di E, ossia che nessun
passaggio funzioni.
Definisco poi $E_i*$ l'evento "interruttore i-esimo aperto".
Dunque :
P(E) = 1 - P(E*) = 1 - [ P(E_1*) P(E_4*) + P(E_1*) P(E_3*) P(E_5*)
+ P(E_2*) P(E_5*) + P(E_2*) P(E_3*) P(E_4*) ]
Secondo voi può andare?
Grazie Buona giornata
Dato il sistema di sopra, definita $P(i)$ la probabilità di funzionamento
di un qualunque interruttore (ossia che sia abbassato) ,definire la probabilità
totale che la corrente scorra da A a B .
Come informazioni so che gli interruttori sono incorrelati fra loro.
Ossia il non funzionamento di uno non influenza nessun altro.
Vi dico come ho ragionato così potete correggermi:
Ho notato che i possibili passaggi sono:
[tex](1-4) (1-3-5) (2-5) ( 2-3-4)[/tex]
Definisco E come l'evento che almeno uno di quei passaggi sia attivo.
La probabilità che funzioni è data da :
$1 - P(E*)$ dove con $E*$ intendo il complementare di E, ossia che nessun
passaggio funzioni.
Definisco poi $E_i*$ l'evento "interruttore i-esimo aperto".
Dunque :
P(E) = 1 - P(E*) = 1 - [ P(E_1*) P(E_4*) + P(E_1*) P(E_3*) P(E_5*)
+ P(E_2*) P(E_5*) + P(E_2*) P(E_3*) P(E_4*) ]
Secondo voi può andare?
Grazie Buona giornata
"edge":
P(E) = 1 - P(E*) = 1 - [ P(E_1*) P(E_4*) + P(E_1*) P(E_3*) P(E_5*)
+ P(E_2*) P(E_5*) + P(E_2*) P(E_3*) P(E_4*) ]
Secondo voi può andare?
Direi di no: hai sommato le prob. di eventi non incompatibili.
Immagina non ci sia l'interruttore 3. Avresti una prob. che la corrente transiti pari a :
$P(1 nn 4)+P(2 nn 5)-P(1 nn 2 nn 4 nn 5)$
Con l'interruttore 3 ci sono altri due eventi da considerare...
Buongiorno :
Evidentemente ieri ho scritto una castroneria.
Allora per esercitarmi ho provato due modi, il primo usando le variabili affermate l'altro usando le stesse
negate.
Allora per il primo:
Posso definire l'evento "corrente scorre",modellandolo in questo modo:
[tex](1 \cap 4) \cup (2 \cap 5) \cup ( 1 \cap 3 \cap 5 ) \cup ( 2 \cap 3 \cap 4)[/tex]
Adesso applico l'operatore probabilità (mi piace pensarla così ) :
[tex]P(1) \cdot P(4) + P(2) \cdot P(5) -P (1) \cdot P(2) \cdot P(4) \cdot P(5) ) + ...[/tex]
questo è il primo spezzone che chiamo A ..
[tex].. + P(1) \cdot P(3) \cdot P(5) - A \cdot P(1) \cdot P(3) \cdot P(5) +..[/tex]
Questo il secondo che chiamo B (inteso A + la riga appena sopra )
[tex].. + P(2) \cdot P(3) \cdot P(4) - B \cdot P(2) \cdot P(3) \cdot P(4)[/tex] .
Fine.
Il secondo metodo è usare l'evento negato ossia interrutore aperto, si ricava dal primo utilizzando DeMorgan.
Ci siamo ?
Buona giornata
Grazie
Enrico
Evidentemente ieri ho scritto una castroneria.
Allora per esercitarmi ho provato due modi, il primo usando le variabili affermate l'altro usando le stesse
negate.
Allora per il primo:
Posso definire l'evento "corrente scorre",modellandolo in questo modo:
[tex](1 \cap 4) \cup (2 \cap 5) \cup ( 1 \cap 3 \cap 5 ) \cup ( 2 \cap 3 \cap 4)[/tex]
Adesso applico l'operatore probabilità (mi piace pensarla così ) :
[tex]P(1) \cdot P(4) + P(2) \cdot P(5) -P (1) \cdot P(2) \cdot P(4) \cdot P(5) ) + ...[/tex]
questo è il primo spezzone che chiamo A ..
[tex].. + P(1) \cdot P(3) \cdot P(5) - A \cdot P(1) \cdot P(3) \cdot P(5) +..[/tex]
Questo il secondo che chiamo B (inteso A + la riga appena sopra )
[tex].. + P(2) \cdot P(3) \cdot P(4) - B \cdot P(2) \cdot P(3) \cdot P(4)[/tex] .
Fine.
Il secondo metodo è usare l'evento negato ossia interrutore aperto, si ricava dal primo utilizzando DeMorgan.
Ci siamo ?
Buona giornata
Grazie
Enrico
Mi sembra corretto.
Io darei questa soluzione:
$P_1*P_4+P_2*P_5-P_1*P_2*P_4*P_5+P_1*P_3*P_5*(1-P_2)*(1-P_4)+P_2*P_3*P_4*(1-P_1)*(1-P_5)$
Dovrebero essere equivalenti.
Io darei questa soluzione:
$P_1*P_4+P_2*P_5-P_1*P_2*P_4*P_5+P_1*P_3*P_5*(1-P_2)*(1-P_4)+P_2*P_3*P_4*(1-P_1)*(1-P_5)$
Dovrebero essere equivalenti.
Grazie per la risposta.
Sotto che ragionamento hai scritto quella riga?
Hai imposto che debba andare un percorso quando un altro non va ?
In questo modo hai eliminato la relazione di compatibilità fra i sotto eventi,ed hai evitato dei fattori nell'espressione?
Ok ?
Ciao
Sotto che ragionamento hai scritto quella riga?
Hai imposto che debba andare un percorso quando un altro non va ?
In questo modo hai eliminato la relazione di compatibilità fra i sotto eventi,ed hai evitato dei fattori nell'espressione?
Ok ?
Ciao
"cenzo":
Mi sembra corretto.
Ti chiedo scusa Enrico, la fretta e la superficialità mi hanno indotto -presumo- a fornirti una indicazione errata.
Partiamo da questa tua espressione corretta:
"edge":
[tex](1 \cap 4) \cup (2 \cap 5) \cup ( 1 \cap 3 \cap 5 ) \cup ( 2 \cap 3 \cap 4)[/tex]
Possiamo utilizzare il principio di inclusione-esclusione per calcolare la probabilità dell'unione di quei 4 eventi.
Li indico con A ={1,4}, B={2,5}, C={1,3,5}, D={2,3,4}.
Otteniamo:
$P("passa corrente")=P(A uu B uu C uu D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)+$
$-[P(A nn B)+P(A nn C)+P(A nn D)+P(B nn C)+P(B nn D)+P(C nn D)]+$
$+P(A nn B nn C)+P(A nn B nn D)+P(A nn C nn D)+P(B nn C nn D)+$
$-P(A nn B nn C nn D).$
Ad esempio, per l'indipendenza $P(A)=P(1)*P(4)$, $P(A nn C)=P(1,3,4,5)=P(1)*P(3)*P(4)*P(5)$, etc...
Per fissare le idee ho ipotizzato P(1)=0,5 ; P(2)=0,6 ; P(3)=0,7 ; P(4)=0,8 ; P(5)=0,9
Mi torna una probabilità che transiti la corrente pari a $0.766$
"cenzo":
Io darei questa soluzione:
$P_1*P_4+P_2*P_5-P_1*P_2*P_4*P_5+P_1*P_3*P_5*(1-P_2)*(1-P_4)+P_2*P_3*P_4*(1-P_1)*(1-P_5)$
Anche con questa formula mi torna lo stesso risultato $0.766$.
L'ho dedotta con un ragionamento diverso.
Sono 5 interruttori, ognuno ha due stati (ON/OFF), quindi ci sono $2^5=32$ possibili stati del circuito (non equiprobabili).
Li ho scritti tutti e 32 con l'aiuto di un foglio di calcolo e ho individuato quelli che danno luogo al passaggio di corrente.
Mi risultano 16 stati che fanno passare la corrente. Poi li ho accorpati e sono arrivato a quella formula.
Però la giustificazione mi sembra abbastanza chiara:
i primi tre termini tengono conto del passaggio 1,4 oppure 2,5, indipendentemente da quello che succede nel 3.
Il quarto termine tiene conto del passaggio 1,3,5, con 2 e 4 OFF, altrimenti ripetiamo una delle possibilità precedenti.
Analogamente per l'ultimo termine.
Spero di non avere scritto altre cavolate
ciao
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