Probabilità e variabili casuali

[X-F(G1,G2)]

Salve,

vorrei capire se c'è una regola per le variabili aleatorie, simile al teorema centrale del limite.
Talvolta negli esercizi bisogna applicare una moltiplicazione alla variabile casuale X che ne modifica il valore atteso e la varianza: se abbiamo una successione Sn, avremo una nuova variabile aleatoria Y con valore atteso $ E(Y)= n * E(X) $ e varianza $ V(Y)= n * V(X) $ ; se applichiamo ad X una trasformazione lineare, la Y avrà valore atteso $ E(Y)= n *E(X) $ e varianza $ V(Y)= n^2*V(X) $ .

Aggiungo degli esempi:

1) L’azienda di gestione della nettezza urbana vuole analizzare il flusso di uscita dei camion di raccolta durante le ore notturne. Il numero di veicoli che lasciano il deposito ogni minuto segue la distribuzione di probabilità della variabile casuale riportata nella seguente tabella:
X 0 1 2 3
P(X=x) 0.68 0.27 0.04 0.01
Calcolare valore atteso e varianza della variabile casuale. [0.38; 0.3756]
Ipotizzando che le variabili casuali X, per ogni ora, siano indipendenti ed identicamente distribuite, calcolare il valore atteso e la varianza della nuova variabile casuale Y definita come “numero di camion che escono in un’ora”. [22.8; 1352.16]
Qui $ V(Y)= n^2 * V(X) = 60^2 * 0.3756 = 1352.16 $

2) In una sala cinematografica si svolgono due spettacoli serali per 280 giorni l'anno. Sia S il numero di spettatori presenti ad un dato spettacolo e si supponga che E(S)=60 e Var(S)=900. Sapendo che il biglietto costa 8 euro, calcolare la probabilità che in un anno (560 spettacoli) l'incasso totale risulti minore di 260 mila. (3 punti) [0,0606]
Qui invece $ V(Y)= n * V(X) = 560 * 900 $ .

Che differenza c'è tra i due esercizi, e come facciamo a distinguere quale caso applicare? C'è qualche regola da seguire per capire se si ha una successione o una trasformazione lineare?

Grazie in anticipo!

[Lo_zio_Tom]

"X-F(G1,G2)":

Il numero di veicoli che lasciano il deposito ogni ora segue la distribuzione di probabilità della variabile casuale riportata nella seguente tabella:
X 0 1 2 3
P(X=x) 0.68 0.27 0.04 0.01


calcolare il valore atteso e la varianza della nuova variabile casuale Y definita come “numero di camion che escono in un’ora”.

non ti pare che ci sia qualche cosa che non torna nel testo? a me sembrano esattamente la stessa cosa, tranne che una li chiama veicoli e l'altra camion...poi magari sono io che sono stanco e non ragiono più...

[X-F(G1,G2)]

Hai ragione, anche io l'avevo notato quando ho svolto l'esercizio ma adesso non l'ho corretto, è un errore di battitura. Sono inizialmente veicoli che lasciano il deposito ogni minuto e poi ogni ora. Provvedo a modificarlo, grazie per avermelo fatto notare.

[Lo_zio_Tom]

stai sereno....

anche nel primo esercizio la variabile "N° di camion in un'ora" è la somma di 60 variabili iid e quindi anche qui

$Y[Y]=V[sum_i X_i]=sum_i V[X_i]=nV[X_1]$

...ci sarà un errore nel risultato.

Ed è anche facile dimostrare ciò che dico: Partendo dalla variabile che descrive il numero di camion usciti in un minuto

$X-={{: ( 0 , 1 , 2, 3 ),( 0.68 , 0.27 , 0.04 , 0.01 ) :}$

in un'ora usciranno un numero di camion descritto dalla variabile $Y$ che ha come supporto $y=0,1,2,3,...,180$ con determinate probabilità; mentre per arrivare al risultato del testo, ovvero calcolare $Y=60X$ (che ti assicuro essere sbagliatissimo), la nuova variabile avrebbe la seguente forma:

$Y-={{: ( 0 , 60 , 120, 180 ),( 0.68 , 0.27 , 0.04 , 0.01 ) :}$

cosa palesemente assurda, perché significa che è impossibile, ad esempio, avere 100 camion in un'ora ma solo i valori discreti $y= 0,60,120,180$

ciao ciao