Probabilità e teorema di bayes

[Ahi1]

Sono date due urne, di cui:
l'urna A contiene 5 palline rosse, palline bianche e 8 palline azzurre
l'urna B contiene 3 palline rosse e 5 palline bianche
Viene lanciato un dado: se si presenta 3 o 6, viene estratta una pallina dall'urna B, altrimenti viene estratta una pallina dall'urna A. Determinare la probabilità (i) che venga estratta una pallina rossa (ii) venga estratta una pallina bianca (iii) venga estratta una pallina azzura.

Questa prima parte del problema è semplice, e per aiutarmi mi sono servito del diagramma ad albero
Considero gli eventi $(R_1)=${"viene estratta una pallina rossa"}, $(B_1)=${"viene estratta una pallina bianca"}, $(A_1)=${"viene estratta una pallina azzurra"}

ho calcolato così la loro probabilità:
$P(R_1)=(2/3)*(5/(16))+(1/3)*(3/8)=(1/3)$
$P(B_1)=(2/3)*(3/(16))+(1/3)*(5/8)=(1/3)$
$P(A_1)=(2/3)*(1/2)+0=(1/3)$

e così risolto è corretto il problema? Credo di sì perché mi trovo con il libro il problema è la seconda parte dell'esercizio che recta così

1. se viene estratta una pallina rossa qual è la probabilità che venga estratta dall'urna A?
2 se viene estratta una pallina bianca qual è la probabilità che nel lancio del dado si presenti 5?

Per il punto 1 penso si deve utilizzare Bayes, per cui:
A=pallina estratta dall'urna A

$P(A|R_1)=(P(A)*P((R_1)|A))/((P(A)*P((R_1)|A))+(P(B)*P(R_1)|B))$

dove $P(A)=(2/3)$, $P(B)=(1/3)$

inoltre $P((R_1)|A)=((2/3)/((5/24)))$

Sostituendo tutto nella legge di bayes mi trovo $10/13$ in realtà il risultato del libro $5/8$
dove sbaglio?

GRAZIE!

[Cheguevilla]

$(2/3*5/16)/(2/3*5/16+1/3*3/8)=(5/24)/(24/8)=5/8$
A numeratore non devi mettere solo $P(A)=2/3$ ma $P(A)P(R_1|A)=2/3*5/16$.

[Ahi1]

per il punto 2 del problema ho sempre utilizzato la seconda formulazione dl teorema di Bayes ma non mi trovo perché?


$P(C|B_1)=$=$((2/3)*(3/16))/((2/3)*(3/16)+(2/3)*(5/16)+(2/3)*(1/2))=(3/16)$

in realtà la soluzione è $3/32$


Grazie

[MaMo2]

"Ahi":per il punto 2 del problema ho sempre utilizzato la seconda formulazione dl teorema di Bayes ma non mi trovo perché?

$P(C|B_1)=$=$((2/3)*(3/16))/((2/3)*(3/16)+(2/3)*(5/16)+(2/3)*(1/2))=(3/16)$

in realtà la soluzione è $3/32$

Grazie

La probabilità che sia uscito il numero 5 è $P=(1/4)*[((2/3)*(3/16))/((2/3)*(3/16)+(1/3)*(5/8))]=3/32$