Probabilità e somma di un numero casuale di variabili casuali

[irelimax]

Ciao ragazzi, ho questo problema:
Sia $N$ variabile casuale con distribuzione geometrica tale che
$$P(N=n)=\theta (1-\theta)^{n-1}\ \ n=1,\dots ,\infty;\ \ 0 < \theta < 1$$

Inoltre, sia $T = Y_1+Y_2+ ... + Y_N$, dove ciascuno $Y_i$ può valere $0$ oppure $1$ e
$$P(Y_i = 1)=\pi,\ \ 0< \pi < 1$$

Il testo mi chiede di trovare $P(T=0)$. Qualcuno può darmi un indizio su come procedere?

Grazie.

[Lo_zio_Tom]

Per poterlo risolvere è necessario che le variabili siano indipendenti. I caso contrario servono informazioni sul tipo di dipendenza.

Ciò premesso, che probabilmente hai dimenticato di scrivere nella traccia, basta pensare che per avere

$T=0$ tutte le Y devono essere zero.

Di qui è tutto in discesa...se non riesci questa è la soluzione:

$P(T=0)=sum_(x=1)^(oo)theta(1-theta)^(x-1)(1-pi)^x=theta(1-pi)sum_(x=0)^(oo)[(1-theta)(1-pi)]^x=(theta(1-pi))/(1-(1-theta)(1-pi))=(theta(1-pi))/(pi+theta(1-pi))$

ciao

[irelimax]

Teorema della probabilità totale! Come ho fatto a non pensarci
Grazie tommik