Probabilità e Robot
Ciao a tutti 
Ultimamente mi sta ronzando per la testa un problema di probabilità, di cui credo di aver trovato una formulazione interessante.
Supponiamo di avere un robot, capace di lanciare un pallone di basket, e supponiamo che sia capace di apprendere dai propri errori. In termini matematici, sia p la probabilità "base" che faccia canestro , e assumiamo che tale probabilità aumenti di 0.1 ogni qualvolta manchi il bersaglio. Inoltre, ad ogni canestro, la probabilità viene resettata e riportata a p.
La domanda è : qual'è la reale probabilità di fare canestro?
Il mio problema è che, seguendo dua approcci, ottengo due risultati molto diversi, e non riesco a venire a capo di quale sia fallato.
SOLUZIONE 1 :
Questa è la soluzione meno elegante delle due, ed essendo molto "pratica", vorrei spiegarlo in tal modo : sia $p = 0.7$.
$0.7$ probabilità che il robot faccia canestro al primo colpo
$(1-0.7)*0.8 = 0.48$ probabilità che faccia canestro al secondo colpo
$(1-0.7)*(1-0.8)*0.9 = 0.162$ probabilità che faccia canestro al terzo colpo
$(1-0.7)*(1-0.8)*(1-0.9) *1 = 0.024$ probabilità che faccia canestro al quarto colpo
$1/(100*(0.7 + 0.48 + 0.162 + 0.024)) = 0.732 $
che dovrebbe essere la probabilità media che il mio robot faccia canestro
SOLUZIONE 2:
Questa è una soluzione più "tecnica", ma che potrebbe contenere qualche falla ( di certo uno dei due procedimenti è errato ... se non lo sono entrambi
)
Sia $C(k)$ l'evento " il robot fa canetro al k esimo tentativo". Abbiamo:
1) $P(C(k) | C(k-1) ) = p$
2) $P(C(k) | !C(k-1)) =MIN ( P(C(k-1)) + 0.1 , 1 )$
Da qui possiamo risalire ad una formula ricorsiva per "P(C(k))" :
$P(C(k)) = P( C(k) | C(k-1) ) * P(C(k-1)) + P( C(k) | !C(k-1) ) * P(!C(k-1))$
$P(C(k)) = p * P(C(k-1)) + MIN(( P(C(k-1)) + 0.1 ) ; 1 ) ( 1 - P(C(k-1))$
ora, se prendiamo come valore di $p = 0.7$ , e supponiamo come è ovvio, $P(C(0)) = p$ , applicando ricorsivamente la formula sopra scritta, la probabilità converge a 0.735 ( la differenza è molto maggiore per valori inferiori di p).
Qualcuno potrebbe darmi delucidazioni a riguardo?
PS: non ho postato nella sezione probabilità e statistica unversitaria perchè il problema non mi sembrava adatto ... nel caso lo fosse, pregherei un mod di spostarlo li
Ultimamente mi sta ronzando per la testa un problema di probabilità, di cui credo di aver trovato una formulazione interessante.
Supponiamo di avere un robot, capace di lanciare un pallone di basket, e supponiamo che sia capace di apprendere dai propri errori. In termini matematici, sia p la probabilità "base" che faccia canestro , e assumiamo che tale probabilità aumenti di 0.1 ogni qualvolta manchi il bersaglio. Inoltre, ad ogni canestro, la probabilità viene resettata e riportata a p.
La domanda è : qual'è la reale probabilità di fare canestro?
Il mio problema è che, seguendo dua approcci, ottengo due risultati molto diversi, e non riesco a venire a capo di quale sia fallato.
SOLUZIONE 1 :
Questa è la soluzione meno elegante delle due, ed essendo molto "pratica", vorrei spiegarlo in tal modo : sia $p = 0.7$.
$0.7$ probabilità che il robot faccia canestro al primo colpo
$(1-0.7)*0.8 = 0.48$ probabilità che faccia canestro al secondo colpo
$(1-0.7)*(1-0.8)*0.9 = 0.162$ probabilità che faccia canestro al terzo colpo
$(1-0.7)*(1-0.8)*(1-0.9) *1 = 0.024$ probabilità che faccia canestro al quarto colpo
$1/(100*(0.7 + 0.48 + 0.162 + 0.024)) = 0.732 $
che dovrebbe essere la probabilità media che il mio robot faccia canestro
SOLUZIONE 2:
Questa è una soluzione più "tecnica", ma che potrebbe contenere qualche falla ( di certo uno dei due procedimenti è errato ... se non lo sono entrambi
)Sia $C(k)$ l'evento " il robot fa canetro al k esimo tentativo". Abbiamo:
1) $P(C(k) | C(k-1) ) = p$
2) $P(C(k) | !C(k-1)) =MIN ( P(C(k-1)) + 0.1 , 1 )$
Da qui possiamo risalire ad una formula ricorsiva per "P(C(k))" :
$P(C(k)) = P( C(k) | C(k-1) ) * P(C(k-1)) + P( C(k) | !C(k-1) ) * P(!C(k-1))$
$P(C(k)) = p * P(C(k-1)) + MIN(( P(C(k-1)) + 0.1 ) ; 1 ) ( 1 - P(C(k-1))$
ora, se prendiamo come valore di $p = 0.7$ , e supponiamo come è ovvio, $P(C(0)) = p$ , applicando ricorsivamente la formula sopra scritta, la probabilità converge a 0.735 ( la differenza è molto maggiore per valori inferiori di p).
Qualcuno potrebbe darmi delucidazioni a riguardo?
PS: non ho postato nella sezione probabilità e statistica unversitaria perchè il problema non mi sembrava adatto ... nel caso lo fosse, pregherei un mod di spostarlo li
Risposte
Riguardo al primo metodo, non mi sembra giusto il calcolo della probabilità, a partire dal secondo tiro.
Calcolando il valore atteso di probabilità di fare canestro a partire da un passo $n-1$, con probabilità $p_(n-1)$, se al lancio $n-1$ non viene fatto canestro, la probabilità di fare canestro al lancio successivo sarà
$p_(0n)=p_(n-1)+c$
Altrimenti sarà
$p_(1n)=p$
Quindi il valore atteso è
$p_(n)=(1-p_(n-1))(p_(n-1)+c)+p_(n-1)p$
Calcolando il valore atteso di probabilità di fare canestro a partire da un passo $n-1$, con probabilità $p_(n-1)$, se al lancio $n-1$ non viene fatto canestro, la probabilità di fare canestro al lancio successivo sarà
$p_(0n)=p_(n-1)+c$
Altrimenti sarà
$p_(1n)=p$
Quindi il valore atteso è
$p_(n)=(1-p_(n-1))(p_(n-1)+c)+p_(n-1)p$
la formula che hai scritto è esattamente quella che ho ottenuto con il secondo metodo. Non riesco però a capire perchè il primo metodo non sia corretto : esiste una dimostrazione efficace e inconfutabile?
Come nota a margine, effettuando delle sperimentazioni con un programma in C ( e facendo effettuare al robot 1000000 di lanci usando il sistema sopra esposto ), i risultati sembrano essere molto più simili a quelli ottenuti col primo metodo di calcolo rispetto a quelli ottenuti col secondo.
Tra l'altro ... so perchè iterano la formula dovrei ottenere il valore atteso di probabilità?
Come nota a margine, effettuando delle sperimentazioni con un programma in C ( e facendo effettuare al robot 1000000 di lanci usando il sistema sopra esposto ), i risultati sembrano essere molto più simili a quelli ottenuti col primo metodo di calcolo rispetto a quelli ottenuti col secondo.
Tra l'altro ... so perchè iterano la formula dovrei ottenere il valore atteso di probabilità?
Potresti considerare come totalità dei casi al secondo lancio quelli in cui al lancio precedente c'è stato un canestro e quelli in cui non c'è stato e quindi calcolare il rapporto tra i casi in cui c'è un canestro al secondo lancio e la totalità dei casi.
Riguardo alla iterazione, da cui si ottiene la probabilità di fare canestro al lancio ennesimo, non ti saprei dire. La richiesta dell'esrcizio se ho capito bene è la probabilità media su un numero molto grande di lanci, per cui, se la probabilità al lancio ennesimo tende ad un valore per il numero del lancio che tende ad infinito, anche la media per numero di lanci tendente ad infinito dovrebbe tendere a questo valore.
Ma è da dimostrare, riguardo a questo ti conviene chiedre nella sezione adatta.
Riguardo alla iterazione, da cui si ottiene la probabilità di fare canestro al lancio ennesimo, non ti saprei dire. La richiesta dell'esrcizio se ho capito bene è la probabilità media su un numero molto grande di lanci, per cui, se la probabilità al lancio ennesimo tende ad un valore per il numero del lancio che tende ad infinito, anche la media per numero di lanci tendente ad infinito dovrebbe tendere a questo valore.
Ma è da dimostrare, riguardo a questo ti conviene chiedre nella sezione adatta.
Proverò a postare nella sezione probabilità e statistica Grazie mille per la risposta
Grazie mille per la risposta
Singolare problema, che mi ha incuriosito. Ma per come è messa, direi che non puoi calcolare ciò che stai cercando.
In soldoni, stai cercando il valore atteso di una certa $X$ che rappresenta la probabilità di fare canestro. Scommetto euro contro ceci che la corrispondente serie diverge.
In soldoni, stai cercando il valore atteso di una certa $X$ che rappresenta la probabilità di fare canestro. Scommetto euro contro ceci che la corrispondente serie diverge.
Mmm ... e come si potrebbe dimostrare la cosa? e soprattutto, a questo punto, io cosa starei calcolando iterando P(C(k))? Quella serie converge, ma come detto prima, se non al valore atteso, non saprei proprio a cosa.
E poi, qual'è la falla nel ragionamento della soluzione 1? e della 2?
E poi, qual'è la falla nel ragionamento della soluzione 1? e della 2?
Ho provato aleggerlo più volte ma non ho capito un tubo.
L'unica cosa che ho capito è che se parti da una probabilità iniziale di 0.7 allora il robot o fa centro al primo o al secondo o la terzo o al quarto e se calcoli queste probabilità la loro somma deve dare 1. Nel primo post hai sbagliato a calcolarle.
L'unica cosa che ho capito è che se parti da una probabilità iniziale di 0.7 allora il robot o fa centro al primo o al secondo o la terzo o al quarto e se calcoli queste probabilità la loro somma deve dare 1. Nel primo post hai sbagliato a calcolarle.
mmm ... credevo di averlo formulato in modo piuttosto chiaro.
Cercherò di esserlo ancora di più :
facciamo eseguire ad un robot $N$ lanci di un pallone. La probabilità di fare canestro è uguale a $p$ se il tiro precedente è andato a segno, mentre sarà uguale alla probabilità del tiro precedente + 0.1 in caso contrario.
Ora, se chiamiamo $S$ i canestri del robot, a quanto tenderà il valore $S/N$ ?
Cercherò di esserlo ancora di più :
facciamo eseguire ad un robot $N$ lanci di un pallone. La probabilità di fare canestro è uguale a $p$ se il tiro precedente è andato a segno, mentre sarà uguale alla probabilità del tiro precedente + 0.1 in caso contrario.
Ora, se chiamiamo $S$ i canestri del robot, a quanto tenderà il valore $S/N$ ?
Questa è una maniera più chiara di esprimere il problema. Confesso che prima avevo capito tutta una altra cosa.
Non è semplice e forse quello che conviene fare è rigirare il problema ovvero contare quanti lanci sono necessari per ottenere un certo numero di canestri. Boh vediamo.
Non è semplice e forse quello che conviene fare è rigirare il problema ovvero contare quanti lanci sono necessari per ottenere un certo numero di canestri. Boh vediamo.
Comunque converge a $1/(1.366)=0.7320644$.
oki, e quel numero come lo hai trovato ? :p la risposta è praticamente identica al risultato ottenuto con il primo calcolo. E ancora, a "cosa " convege la successione iterata col procedimento 2?
Ma non ho bene capito quale sia la successione.
Per il numero provaci tu.
Come ti ho detto rigira il problema: invece di considerare quanti canestri ci sono in N lanci $S/N$ considera quanti lanci ci servono per fare n canestri. Chiama questa variabile $Y_n$. Capiscin come è fatta $Y_n$ (è la somma di...) ed applichi la legge forte dei grandi numeri.
Per il numero provaci tu.
Come ti ho detto rigira il problema: invece di considerare quanti canestri ci sono in N lanci $S/N$ considera quanti lanci ci servono per fare n canestri. Chiama questa variabile $Y_n$. Capiscin come è fatta $Y_n$ (è la somma di...) ed applichi la legge forte dei grandi numeri.
"DajeForte":
Confesso che prima avevo capito tutta una altra cosa.
Anche io.
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