Probabilità e lanci del dado
Sono bloccato su questo esercizio! Nessuna delle nozioni che conosco di probabilità mi porta ad una risposta sensata eppure la domanda sembra facilissima.
Lanciando 10 volte un dado che probabilità c'è che esca 6 almeno una volta?
Più che risolvere vi chiedo per favore di spiegare ogni passaggio dettagliatamente così che possa capire il ragionamento da fare. Grazie
Lanciando 10 volte un dado che probabilità c'è che esca 6 almeno una volta?
Più che risolvere vi chiedo per favore di spiegare ogni passaggio dettagliatamente così che possa capire il ragionamento da fare. Grazie
Risposte
Ti conviene ragionare sull'evento complementare (contrario): la probabilità che il 6 non esca mai in 10 lanci.
Si lo so! Ho già provato ad applicare il teorema della probabilità contraria, ma niente. Sono completamente bloccato, potreste svolgerlo voi?
Applicando il teorema, in 5 casi su 6 al primo lancio (probabilità che il 6 non esca al primo lancio), idem per il secondo fino al decimo. quindi 50/6. Poi il teorema della probabilità contraria mi dice di sottrarre tale valore ad 1. Ma cavoli le definizioni vengono contraddette se si giunge a frazioni improprie. Il numeratore non può superare il denominatore altrimenti il concetto di probabilità non sussiste. Questo è spesso uno dei motivi per cui in alcuni esercizi mi blocco e non so cosa fare. Non esiste ragionamento che tenga. Per favore svolgetelo e fatemi capire!
Applicando il teorema, in 5 casi su 6 al primo lancio (probabilità che il 6 non esca al primo lancio), idem per il secondo fino al decimo. quindi 50/6. Poi il teorema della probabilità contraria mi dice di sottrarre tale valore ad 1. Ma cavoli le definizioni vengono contraddette se si giunge a frazioni improprie. Il numeratore non può superare il denominatore altrimenti il concetto di probabilità non sussiste. Questo è spesso uno dei motivi per cui in alcuni esercizi mi blocco e non so cosa fare. Non esiste ragionamento che tenga. Per favore svolgetelo e fatemi capire!
"lucamennoia":
in 5 casi su 6 al primo lancio (probabilità che il 6 non esca al primo lancio), idem per il secondo fino al decimo. quindi 50/6.
E' qui l'errore. Assumendo i lanci indipendenti, la probabilità che non esca al primo e non esca al secondo (intersezione di due eventi) è il prodotto delle singole probabilità, quindi \( \left(\frac{5}{6}\right)^2\).
Analogamente procedi per 10 lanci.
Quindi il risultato corretto è \(\displaystyle \frac{6^{10} - 5^{10}}{6^{10}} = \frac{50700551}{60466176} \) cioè l'83,8% giusto?
Si, anche se preferisco scriverlo (e calcolarlo) come \( 1-\left(\frac{5}{6}\right)^{10}\). 
ok grazie mille! Ora visto che ci sono e che mi hai aiutato tu sulla probabilità contraria, vorrei chiedere ancora un chiarimento riguardo ad un altro esercizio.
15. Una scatola contiene 3 lampadine elettriche fulminate e 7 buone. Se ne prendono 3 a caso. Qual è la probabilità che:
a. almeno una sia buona?
b. almeno due siano buone?
c. siano tutte buone?
Questo esercizio lo svolgo in tutti e tre i punti usando il teorema della probabilità contraria e sembra quadrare tutto ma se io volessi non usare il teorema???
Ad esempio il quesito a. l'ho risolto così: 1 – (3/10)*(2/9)*(1/8) = 119/120 = 99,16%
il quesito b. : 1 – (3/10)*(2/9) = 14/15 = 93,3%
il quesito c. : 1 – (3/10) = 7/10 = 70%
La cosa che non capisco e continuo a scervellarmi è che considerando ad esempio il quesito c. in cui si vuol sapere quante sono le probabilità che le lampadine siano tutte buone io ricavo i 7/10 dal teorema della probabilità contraria ma se uso le normali applicazioni ottengo 7/24 in quanto faccio l'intersezione di (7/10)(6/9)(5/8). Come mai non mi escono gli stessi risultati!? Puoi spiegarmi per favore? Ho molti altri esercizi in cui incorro in questo tipo di problema e non riesco ad uscirne.
Grazie mille in anticipo!!
15. Una scatola contiene 3 lampadine elettriche fulminate e 7 buone. Se ne prendono 3 a caso. Qual è la probabilità che:
a. almeno una sia buona?
b. almeno due siano buone?
c. siano tutte buone?
Questo esercizio lo svolgo in tutti e tre i punti usando il teorema della probabilità contraria e sembra quadrare tutto ma se io volessi non usare il teorema???
Ad esempio il quesito a. l'ho risolto così: 1 – (3/10)*(2/9)*(1/8) = 119/120 = 99,16%
il quesito b. : 1 – (3/10)*(2/9) = 14/15 = 93,3%
il quesito c. : 1 – (3/10) = 7/10 = 70%
La cosa che non capisco e continuo a scervellarmi è che considerando ad esempio il quesito c. in cui si vuol sapere quante sono le probabilità che le lampadine siano tutte buone io ricavo i 7/10 dal teorema della probabilità contraria ma se uso le normali applicazioni ottengo 7/24 in quanto faccio l'intersezione di (7/10)(6/9)(5/8). Come mai non mi escono gli stessi risultati!? Puoi spiegarmi per favore? Ho molti altri esercizi in cui incorro in questo tipo di problema e non riesco ad uscirne.
Grazie mille in anticipo!!
a) è corretto, b) e c) sono errati.
Questo che hai scritto è il contrario di "la prima estratta è guasta", cioè corrisponde alla probabilità che la prima estratta funziona. Quindi non è quello che chiede l'esercizio.
Invece è esatto il secondo modo che hai scritto:
Analogamente anche il b) è errato.
Per il b) puoi sommare la probabilità che estrai (esattamente) 2 funzionanti e la probabilità che estrai 3 funzionanti.
Le puoi sommare perchè sono eventi incompatibili.
Devi porre attenzione a calcolare la prob. 2 funzionanti (e quindi una guasta), per via dell'ordine in cui si possono presentare.
In alternativa puoi fare (evento contrario): 1-prob(nessuna funzionante)-prob(una sola fuzionante).
Anche qui occorre attenzione per calcolare la prob. 1 funzionante (e quindi 2 guaste).
Prova.
"lucamennoia":
quesito c. : 1 – (3/10) = 7/10 = 70%
Questo che hai scritto è il contrario di "la prima estratta è guasta", cioè corrisponde alla probabilità che la prima estratta funziona. Quindi non è quello che chiede l'esercizio.
Invece è esatto il secondo modo che hai scritto:
"lucamennoia":
(7/10)(6/9)(5/8)
Analogamente anche il b) è errato.
Per il b) puoi sommare la probabilità che estrai (esattamente) 2 funzionanti e la probabilità che estrai 3 funzionanti.
Le puoi sommare perchè sono eventi incompatibili.
Devi porre attenzione a calcolare la prob. 2 funzionanti (e quindi una guasta), per via dell'ordine in cui si possono presentare.
In alternativa puoi fare (evento contrario): 1-prob(nessuna funzionante)-prob(una sola fuzionante).
Anche qui occorre attenzione per calcolare la prob. 1 funzionante (e quindi 2 guaste).
Prova.
Ecco come ho risolto.
Quesito b) 1 - (3/10)*(2/9)*(1/8) - (3/10)*(2/9)*(7/8) - (3/10)+(7/9)*(2/8) - (7/10)*(3/9)*(2/8) = 49/60
Quesito c) 1 - 3*p(1 FULMINATA) - 3*p(2 FULMINATE) = 1 - (21/120) - (21/40) = 3/10
Ecco! A questo proposito vorrei farlo notare ancora: 3/10 (con il teorema della probabilità contraria) 7/24 (senza teorema).
Perchè i risultati non combaciano?
Quesito b) 1 - (3/10)*(2/9)*(1/8) - (3/10)*(2/9)*(7/8) - (3/10)+(7/9)*(2/8) - (7/10)*(3/9)*(2/8) = 49/60
Quesito c) 1 - 3*p(1 FULMINATA) - 3*p(2 FULMINATE) = 1 - (21/120) - (21/40) = 3/10
Ecco! A questo proposito vorrei farlo notare ancora: 3/10 (con il teorema della probabilità contraria) 7/24 (senza teorema).
Perchè i risultati non combaciano?
Da un rapido conto (mi potrei sbagliare): la prima è giusta la seconda è sbagliata.
Hai familiarità con la distribuzione ipergeometrica? http://it.wikipedia.org/wiki/Distribuzi ... geometrica
Il mio consiglio è: calcoa la probabilità che esattamente 0,1,2,3 siano guaste. Le sommi e devi avere 1.
Una volta fatto questo per i tre eventi basta che sommi alcuni di quei casi.
Hai familiarità con la distribuzione ipergeometrica? http://it.wikipedia.org/wiki/Distribuzi ... geometrica
Il mio consiglio è: calcoa la probabilità che esattamente 0,1,2,3 siano guaste. Le sommi e devi avere 1.
Una volta fatto questo per i tre eventi basta che sommi alcuni di quei casi.
Non conoscevo la distribuzione ipergeometrica, tuttavia leggendo la pagina da te linkata ci ho capito poco e niente ma soprattutto non trovo il nesso tra ciò che c'è lì e il modo con cui risolvere questo tipo di problema. Se il terzo quesito è sbagliato potresti correggerlo?
"lucamennoia":
Ecco come ho risolto.
Quesito b) 1 - (3/10)*(2/9)*(1/8) - (3/10)*(2/9)*(7/8) - (3/10)+(7/9)*(2/8) - (7/10)*(3/9)*(2/8) = 49/60
Quesito c) 1 - 3*p(1 FULMINATA) - 3*p(2 FULMINATE) = 1 - (21/120) - (21/40) = 3/10
Ho fatto una tabella di tutte le configurazioni possibili e ho valutato gli eventi contrari. Giusto?
Il b) va bene.
Però usare la probabilità contraria non dà vantaggi in questo caso. Non risparmi calcoli.
Quindi, potevi anche fare:
P(almeno 2 funzionanti) = P(2 funzionanti) + P(3 funzionanti) = 3*(7/10)*(6/9)*(3/8) + (7/10)*(6/9)*(5/8) = 49/60
Il c) non va bene. E' giusto come avevi fatto prima, senza probabilità contraria, che non conviene in questo caso.
P(tutte e 3 funzionanti)=(7/10)*(6/9)*(5/8)
Se proprio vuoi complicarti la vita con la probabilità contraria applicata al c), dovresti fare:
P(tutte 3 funzionanti)=1-P(nessuna funzionante)-P(1 funzionante)-P(2 funzionanti)
Ma in questo modo ti devi calcolare 3 probabilità. Non è più semplice come fatto prima ?
Poi come suggerisce DajeForte, per le estrazioni senza reimmissione è conveninete fare riferimento al modello ipergeometrico. Se hai studiato le combinazioni non dovresti avere difficoltà.
Grazie, soprattutto per la pazienza che avete! Il calcolo combinatorio non è un problema e dal punto di vista di calcolo so fare tutto. Non ho però capito come applicare ad esempio a questo caso il modello ipergeometrico.
Lì c'è una formula ma cosa me ne faccio una volta calcolata? Come mi può servire? Potete farmi un esempio per favore?
Lì c'è una formula ma cosa me ne faccio una volta calcolata? Come mi può servire? Potete farmi un esempio per favore?
"lucamennoia":
Non ho però capito come applicare ad esempio a questo caso il modello ipergeometrico.
Lì c'è una formula ma cosa me ne faccio una volta calcolata? Come mi può servire? Potete farmi un esempio per favore?
Per esempio la probabilità di avere esattamente 2 funzionanti è:
\( \displaystyle \frac{ {7 \choose 2} \cdot {3 \choose 1} }{10 \choose 3} \)
Che si interepreta così:
Denominatore: tutti i possibili modi di estrarre 3 lampadine dalle 10
Numeratore: [i possibili modi di associare 2 estratte dalle 7 funzionanti] con [1 estratta dalle 3 guaste]
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