[Probabilità] E' giusto il mio ragionamento?

[Baldur1]

Testo d'esame:

Hanno rubato nuovamente la Gioconda! Due anni dopo, perquisendo la casa di un collezionista viene ritrovata Mona Lisa. Si dubita un po' sull'autenticità del quadro e si stima all'80% che sia veramente quello dipinto da Leonardo. Si consultano allora due esperti; il primo, che si sbaglia una volta su cinque, dichiara che è quello autentico. Il secondo, che si sbaglia due volte su undici, dichiara che è un falso. I due giudizi sono indipendenti.
Qual è la probabilità di aver ritrovato la Gioconda autentica?

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Allora, lo svolgimento che ho io, giunge a questa conclusione, ovvero che bisogna trovare

P(Gv | E1i E2i). Dove per Gv = Gioconda vera, E1 e E2, Esperto 1 ed Esperto 2. La s e la i stanno per "sbaglia" e "indovina".

Ma perchè vuole cercare quella probabilità? Se l'esercizio ci chiede quale sia la prob. di aver ritrovato la vera Gioconda, l'esperto 2, non dovrebbe sbagliare? Io avrei cercato questa probabilità: P(Gv | E1i E2s)! Cioè, se io voglio cercare la prob. che la gioconda sia vera, ho bisogno che l'esperto 2 sbagli, poichè sbagliando, vorrebbe dire che la sua dichiarazione (che sia un falso) non fosse vera...giusto? Se metto "E2i" vuol dire che sto cercando la probabilità che l'esperto 2 indovini, ma lui dichiara che sia un falso, per cui voglio che sbagli, non che indovini!

[Seneca1]

Francamente al momento non capisco neanche io perché hai scritto così. Dove hai preso questo svolgimento?

[Baldur1]

Sono dei compiti d'esame svolti da alcuni studenti. Il secondo, è il ragionamento che faccio io, che a me sembra quello giusto. Tu che dici? Non bisognerebbe cercare la probabilità per cui l'esperto 2, sbagli?

[Seneca1]

Potresti riportare lo svolgimento che hai per intero?

[Baldur1]

Allora, lo svolgimento che ho è il seguente:

Si parte calcolando

$P(E1i) = 80/100 cdot 4/5 + 20/100 cdot 1/5 = 17/25$

Per cui:
$P (Gv | E1i) = (P(Gv) cdot P(E1i | Gv)) / ( P(E1i)) = (80/100 cdot 4/5) / (17/25) = 0,941$

Poi si calcola:

$P(Gv | E2s) = (P(Gv) cdot P(E2i | Gv)) / (P(E2i)) = (80/100 cdot 2/11) / (17/55) = 0,21$

$P(E2s) = 80/100 cdot 2/11 + 20/100 cdot 9/11 = 17/55$

E infine:

$P(Gv | E1i E2s) = 0,941 cdot 0,21 = 0,1974$

Ma credo di aver capito dove sia l'errore: $P(Gv | E2s) = (P(Gv) cdot P(E2i | Gv)) / (P(E2i)) = (80/100 cdot 2/11) / (17/55)$ NON FA $0,21$, ma $0,4705$!

Per cui sarebbe

$P(Gv | E1i E2s) = 0,941 cdot 0,4705$ !