Probabilità e disuguaglianza di Chebyshev

[bius88]

Ciao a tutti, non riesco a capire questo esercizio:

Usando la disuguaglianza di Chebyshev trovare quante volte si deve lanciare una moneta affinchè la probabilità che la media campionaria $X$ sia compresa tra $0.4$ e $0.6$ e sia almeno il $90%$ (la moneta non è truccata).

Allora so che la disuguaglianza di Chebyshev è: $P(mu-ksigma=1-1/k^2$
$mu=E(X)$
$sigma^2<+oo=Var(X)$

Posso scrivere la disuguaglianza come $P(0.4-ksigma=1-1/k^2$?

[Rggb1]

Io metterei (per abitudine metto $bar(X)$ come media campionaria)
$P(0.4 <= bar(X) <= 0.6)>=1-1/k^2$

[bius88]

"Rggb":Io metterei (per abitudine metto $bar(X)$ come media campionaria)
$P(0.4 <= bar(X) <= 0.6)>=1-1/k^2$

Quindi $P(0.4 <= bar(X) <= 0.6)>=1-1/k^2=0.9$

Pongo $1-1/k^2=0.9 rArr k=+-sqrt(10)$ ..............Ma ora?

[cenzo1]

Ora $\mu+k*\sigma=0.6$

$k$ lo hai trovato. Rifletti: chi sono (quanto valgono) $\mu$ e $\sigma$ nel caso proposto ?

[bius88]

Allora cenzo, $mu=E(X)$ è la media aritmetica, $sigma=sqrt(Var(X))$ è la deviazione standard. Ma ancora sono in alto mare..

[cenzo1]

Suggerimento: il lancio della moneta è un esperimento Bernoulliano ripetuto...

[bius88]

"cenzo":Suggerimento: il lancio della moneta è un esperimento Bernoulliano ripetuto...

In questo caso, se non sbaglio, $E(X) = p$ e $Var(X) = p(1-p)$ dove $0 Ancora però non ci sono arrivato

[cenzo1]

"bius88":In questo caso, se non sbaglio, $E(X) = p$ e $Var(X) = p(1-p)$ dove $0 Ancora però non ci sono arrivato

Se lanciamo $n$ volte una moneta non truccata abbiamo un valore atteso di teste $np$ con una varianza $np(1-p)$ (con $p=0.5$).
La frequenza media di teste $barX$ avrà un valore atteso $E[barX]=mu=p=0.5$ e una varianza $sigma^2=(p(1-p))/n=(0.5*(1-0.5))/n$

Ora hai tutti gli ingredienti per ricavare $n$, ricordando che $mu+ksigma=0.6$.

[bius88]

Riguardo a ciò che hai scritto tu essendo $mu=0.5$ e $mu+k*sigma=0.6$ allora abbiamo $0.5+sqrt(10)sigma=0.6rArr sigma=0.0316..$

$0.0316^2=(0.5*(1-0.5))/n rArr 0.001=0.25/n$ quindi $n=0.25/0.001=250$

E' così?
Grazie..

[cenzo1]

Direi di si.
Prego, ciao.