Probabilità di vittoria (distribuzione binomiale n indefinito)

[canesciolt0]

(APRITE IMMAGINE IN UN'ALTRA SCHEDA PER LEGGERE TUTTO IL TESTO)

ho dei problemi con questo (apparentemente) semplice problema.

all'inizio ho pensato che fosse semplicemente P(A)^2=0.49, cioè la probabiltà che A faccia due punti di seguito, ma poi ho pensato che se P(A)=0.7 vuol dire che la probabilità che non faccia punto e che quindi il punto sia assegnato al suo avversario (diciamo B) è P(B)=0.3.
in una partita di tennis inoltre il pareggio non è contemplato, quindi o vince A o vince B.
ho fatto varie ipotesi, ho analizzato i possibili eventi fino a 7 scambi, cioè 128 eventi e ho notato che a parte 2 pareggi le vittore (W) e le perse (L) sono uguali in numero. ho pensato che però i casi non avevano la stessa probabilità di accadere e ho scoperto la distribuzione binomiale.
i valori empiricamente convergono (fino al 7 scambio) a circa 79% di vittoria di A.
ho pensato che più scambi facessero, meno avrebbero influito i casi di parità (cioè di alternanza ABABABAB...) e infatti così è stato.
il problema del mio metodo è che non riesco a capire i pattern W-L, ovvero come sono distribuite le vittorie e le sconfitte per un dato caso.
esempio:

se su 7 scambi A fa 4 punti e B ne fa 3 dalle mie analisi risulta che il caso 4-3 per A occorre 35 volte su 128 e il resoconto è 20W-14L 1Nulla e la probabilità che accada è 0,65%.

magari il mio ragionamento non ha né capo né coda, spero possiate darmi una mano, grazie.

[Lo_zio_Tom]

Non è un esercizio sulla binomiale ma sulle geometriche, e quindi $n rarr+oo$. In una binomiale, infatti, si calcola la probabilità di k successi su n (finito) prove, indipendentemente dalla posizione che i successi hanno nella successione delle prove. L'esercizio in questione è invece basato su un "game" di tennis dove i giocatori si trovano al punteggio di 40-40. Vince il tennista che mette a segno due "vantaggi" (così si chiamano i punti segnati dopo la situazione 40-40) consecutivi.

Basta osservare pochi passi della successione per rendersi conto che i casi favorevoli ad A sono:

AA
BAA
ABAA
BABAA
ABABAA
BABABAA
ABABABAA
BABABABAA
ABABABABAA

ecc ecc


In definitiva, conoscendo la serie geometrica, non ci vuole poi molto a capire che la probabiltà che vinca A (posto $p$ la probabilità che egli faccia il punto e $q$ la probabilità complementare) è semplicemente la seguente:


$pp[sum_(i=0)^(+oo)(pq)^i+qsum_(i=0)^(+oo)(pq)^i]= pp(1+q)sum_(i=0)^(+oo)(pq)^i=(pp(1+q))/(1-pq)$

quindi, sostituendo, con $p=0.7$ ottieni $0.8063$

Ovviamente più la probabilità di A di fare il punto è alta, più alta è la probabiltà che egli vinca il game:

$p=0.1 rarr 0.02$

$p=0.5 rarr 0.5$

$p=0.9 rarr 0.98$

nana!

[canesciolt0]

grazie mille, ieri sera avevo più o meno capito cosa fare ma non come farlo, non avevo pensato proprio alle serie!