Probabilità di una Binomiale
Ciao, sono alle prese col il seguente esercizio:
Un'indagine diagnostica si compone di diversi esami in successione che, nel caso il paziente sia malato, hanno una probabilità di scoprirlo pari al 70%. Al terzo tentativo si ferma la prova, altrimenti si va avanti.
Quanti esami devo prevedere affinchè la probabilità di non scoprire un individuo malato sia solo di 0.05?
RAGIONAMENTO:
Chiamando con $X$ il numero di test positivi su $n$ totali e con $p=7/10$ la probabilità che il test sia positivo, X è una VA binomiale di parametri n e p.
La probabilità di non scoprire un paziente malato è $P(X\leq 2)$ che, dopo aver fatto i calcoli mi risulta
$$\left(\frac{3}{10}\right)^n*\left(1-\frac{28}{9}n+\frac{49}{9}n^2\right)$$
Per trovare $n$ dovrei imporre la precedente espressione $=0.05$. Ora, siete d'accordo con me che tale equazione non è risolvibile con metodi algebrici?
Un'indagine diagnostica si compone di diversi esami in successione che, nel caso il paziente sia malato, hanno una probabilità di scoprirlo pari al 70%. Al terzo tentativo si ferma la prova, altrimenti si va avanti.
Quanti esami devo prevedere affinchè la probabilità di non scoprire un individuo malato sia solo di 0.05?
RAGIONAMENTO:
Chiamando con $X$ il numero di test positivi su $n$ totali e con $p=7/10$ la probabilità che il test sia positivo, X è una VA binomiale di parametri n e p.
La probabilità di non scoprire un paziente malato è $P(X\leq 2)$ che, dopo aver fatto i calcoli mi risulta
$$\left(\frac{3}{10}\right)^n*\left(1-\frac{28}{9}n+\frac{49}{9}n^2\right)$$
Per trovare $n$ dovrei imporre la precedente espressione $=0.05$. Ora, siete d'accordo con me che tale equazione non è risolvibile con metodi algebrici?
Risposte
"mbistato":
Quanti esami devo prevedere affinchè la probabilità di non scoprire un individuo malato sia solo di 0.05?
premesso che:
1) il testo non è scritto in modo ineccepibile ma lascia spazi all'interpretazione
2) di sicuro non va bene la frase che ho citato in quanto la probabilità di trovare un valore $n$ intero tale per cui la probabilità richiesta sia esattamente 5% è zero...
e quindi è meglio scriverlo così:
"mbistato":
Quanti esami (tutti indipendenti fra loro) devo prevedere affinchè la probabilità di non scoprire un individuo malato sia $<=0.05$?
la tua soluzione mi è totalmente oscura quindi o me la spieghi meglio oppure non ti so aiutare.
Io farei così:
$P(T^+|M)=0.7 rarr P(T^-|M)=0.3$
Ora per l'indipendenza dei singoli test (che tra l'altro il testo non dice ma è necessaria) otteniamo che alla prima batteria di test avremo
$P(T^-|M)=0.3^n$ dato che tutti i test devono essere negativi
Quindi dopo la seconda batteria (la terza non si fa perché al terzo tentativo ci si ferma, e non DOPO il terzo tentativo) ottieni
$0.3^(2n)<=0.05$ da cui $n>= ceil(1/2 (log0.05)/(log0.3))=2$
questa almeno è la mia opinione.
PS: magari se @Superpippone ci desse un'occhiata...
ciao
Ciao.
Ringrazio per la fiducia.....
Il testo non è molto comprensibile.
Mi è molto oscura la frase: "Al terzo tentativo si ferma la prova, altrimenti si avanti". Che vuol dire?
Da quel poco che ho capito dobbiamo trovare $0,05>0,3^n$
Da cui $n=3$. Di conseguenza dobbiamo prevedere $3$ esami.
Almeno questa è la mia interpretazione......
Ringrazio per la fiducia.....
Il testo non è molto comprensibile.
Mi è molto oscura la frase: "Al terzo tentativo si ferma la prova, altrimenti si avanti". Che vuol dire?
Da quel poco che ho capito dobbiamo trovare $0,05>0,3^n$
Da cui $n=3$. Di conseguenza dobbiamo prevedere $3$ esami.
Almeno questa è la mia interpretazione......
da come lo interpreto io verrebbe così:
$0.05>0.3^n\cdot 0.3^n$
dato che si parla di al massimo due tentativi (immagino 2 batterie da n test l'una) e quindi $n=2$
comunque più o meno l'impostazione è quella....
@Grazie Superpippone!
$0.05>0.3^n\cdot 0.3^n$
dato che si parla di al massimo due tentativi (immagino 2 batterie da n test l'una) e quindi $n=2$
comunque più o meno l'impostazione è quella....
@Grazie Superpippone!
Behh...
Se la frase che ho virgolettato voleva dire questo, allora hai certamente ragione!!
Saluti.
Luciano
Se la frase che ho virgolettato voleva dire questo, allora hai certamente ragione!!
Saluti.
Luciano
Avete ragione, questo prof fa di tutto per non permetterci di passare l'esame! 
Io l'avevo interpretato in questo modo: una persona si sottopone a n test equiprobabili e indipendenti; la probabilità che ciascun test sia positivo è $p = 70%$, e quindi, come già detto, indicando con $X$ il numero di test positivi, deduco che $X$ soddisfa tutte le ipotesi si una distribuzione binomiale (in questo caso di parametri appunto $n$ e $p$).
Allora, la probabilità che il paziente non venga scoperto malato equivale alla probabilità che il numero di test positivi sia $\leq 2$, ovvero $P(X\leq 2)$.
Non è plausibile anche questa interpretazione?
Io l'avevo interpretato in questo modo: una persona si sottopone a n test equiprobabili e indipendenti; la probabilità che ciascun test sia positivo è $p = 70%$, e quindi, come già detto, indicando con $X$ il numero di test positivi, deduco che $X$ soddisfa tutte le ipotesi si una distribuzione binomiale (in questo caso di parametri appunto $n$ e $p$).
Allora, la probabilità che il paziente non venga scoperto malato equivale alla probabilità che il numero di test positivi sia $\leq 2$, ovvero $P(X\leq 2)$.
Non è plausibile anche questa interpretazione?
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