Probabilità di un gioco

[gio881]

salve sto cercando di fare più esercizi possibili sulle probabilità , solo che ho difficoltà in modo particolare nel interpretare il testo in modo tale da utilizzare le nozioni che che sto studiando a livello di formule.

sto facendo questo esercizio

in un'urna sono contenute 5 palline numerate da 1 a 5.Un gioco consiste nell'estrarre inizialmente una pallina se è un 4 o un 5 , la si reimmette e si aggiunge all'urna una pallina numerata 5, altrimenti la si re immette semplicemente nell'urna.Si procede poi ad estrarre una seconda pallina,m se questa risulta un 5 si vince il gico altrimenti si perde.

si calcoli la probabilità di vincere il gioco

scrivo a livello teorico come sto cercando "logicamente" di svolgere l'esercizio : calcolo la probabilità di estrarre o un 4 o un 5 in uno spazio campionario di 5 , con reimissione , quindi la probabilità di trovare la pallina 4 è uguale a quella di trovare la pallina 5 , in questo caso aggiungo un pallina 5 , quindi calcolo la probabilità condizionata che esca un 5 nel secondo turno nel caso nel turno precedente siano usciti 4 o 5 e quindi abbia una pallina aggiuntiva 5 , lo spazio campionario ora è 6 perchè sono 6 palline , ed è senza re imissione quindi le probabilità sono diverse , e ho 2 palline col valore 5 che posso trovare nel secondo turno.

a livello formale

primo turno $1/5 * 1/5 = 0.04$

secondo turno $1/6 * 1/5 = 0.034$

risultato $0.04 * 0.034 = 0.0014$

sono convinto di aver saltato qualche passaggio , e sicuro non è quello è il risultato , qualcuno potrebbe aiutarmi? grazie in anticipo

[walter891]

il fatto di estrarre con reimmissione o meno è importante quando passi dal primo al secondo turno: all'interno di una mano le probabilità sono sempre uguali perchè non ci sono differenze tra una pallina e le altre. Quello che succede dopo il secondo turno non ti interessa perchè il gioco è finito

Comunque a me viene più facile partire dal secondo turno: nel caso che al primo siano usciti 4 o 5 allora ci saranno giustamente 6 palline in totale di cui 2 "buone" allora la probabilità di estrarne una è $2/6$ però devo tenere conto che al primo turno siano usciti appunto 4 o 5 è ciò si verifica con probabilità $2/5$, moltiplicando si ottiene $2/6*2/5=4/30$.
Nell'altro caso invece le palline sono 5 anche al secondo turno e solamente una è "buona", e ragionando come prima ottieni $1/5*3/5=3/25$
Sommando questi 2 valori ottieni il risultato

[nino_12]

$ P_v = 2/5*2/6 + 3/5*1/5 = 19/75 $

[gio881]

grazie mille

[gio881]

scusate , sempre legate all'esercizio scritto sopra , un'altro punto mi dice:

Si consideri un giocatore he ha vinto il gioco : qual'è la probabilità che alla prima estrazione , egli ottenuto un numero minore di 4?


io qua uso la binomiale essendo la prima estrazione con reimissione e quindi le prove sono indipendeti tra di loro


allora faccio

$p= (3/5) = 0.6$ la probabilità che escano le 3 palline inferiore al 4

e successivamente

uso la formula

$((n!) / (x! (n-x)!)) p^(n) (1-p)^(n-x)$

e faccio

$f(0) = ((5!)/((0!)(5!))) (0.6)^(0) (0.4)^(5) = 0.0101$

$f(1) =((5!)/((1!)(4!))) (0.6)^(1) (0.4)^(4) = 0.0768$

$f(2) =((5!)/((2!)(3!))) (0.6)^(2) (0.4)^(3) = 0.23041$

$f(3) =((5!)/((3!)(2!))) (0.6)^(3) (0.4)^(2) = 0.6912$


sommo i valori ottenuti...cosa sbaglio?? grazie in anticipo

[walter891]

ti sta chiedendo di ragionare sulla prima estrazione dopo aver già fatto la seconda: devi usare la probabilità condizionata e il teorema di Bayes
dovrebbe venire $(1/5*3/5)/(19/75)=9/19$