Probabilità di palline da urna
Un' urna contiene 100 biglie di tre colori 20R, 60N, 20B. Si estraggono due palline in successione senza rimettere le biglie nell'urna, determinare la probabilità che una sia rossa.
La formula dovrebbe essere...
(casi favorevoli)/(casi possibili)... ora il aftto è questo... non sono in grado di trovar i casi possibili e quelli favorevoli... il fatto hce siano 2 le palline mi intrippa...
La formula dovrebbe essere...
(casi favorevoli)/(casi possibili)... ora il aftto è questo... non sono in grado di trovar i casi possibili e quelli favorevoli... il fatto hce siano 2 le palline mi intrippa...
Risposte
"Kroldar":
Calcolare la probabilità come rapporto tra casi favorevoli e casi possibili è il cosiddetto "approccio classico" alla probabilità... approccio che in alcuni casi è largamente utilizzato, ma che va in crisi quando il numero di possibili casi da trattare non è finito o addirittura non è contabile. Ad oggi, l'approccio più utilizzato è quello assiomatico, anche se ha lo svantaggio di non definire univocamente una legge di probabilità.$
Infatti la teoria assiomatica delle probabilità non dà nessuna definizione di probabilità come la classica, la frequentista o la soggettiva. Quando non si possono calcolare i casi opssibili si ricorre alla definizione frequentista o alla soggettiva. La definizione frequentista è una riproposizione della classica, calcolata a posteriori anzichè a priori. Se non si conosce la legge di probabilità del fenomeno studiato (in questo caso se non sapessi quante sono le palline nell'urna e quante di ciascun colore) dovrei fare un gran numero di estrazione e contare quante volte sono uscite le palline di ciascun colore. La legge empirica del caso, o legge dei grandi numeri, assicura che la probabilità di avere risultati diversi da quella basata sulla conoscenza della legge di probabilità del fenomeno studiato, diminusce all'aumentare del numero delle prove. La definizione frequentista è quella che si può usare sempre e su cui si basa l'inferenza statistica, cioè l'uso di un campione al posto dell'intera popolazione statistica oggetto di indagine. Inoltre si usa per controllare che effettivamente sia rispettata l'ipotesi di equiprobabilità (ad esempio che un dado sia bilanciato).
Allora... ho provato a fare questo...:
Un' urna contiene n biglie di tre colri diversi. Il numero di biglie di ciascun colore è il doppio del precedente.
- Calcolare la probabilità che estraendo tre biglie, una alla volta rimettondola nell'urna, questi risultino di colore diverso;
- Calcolare la probabilità che due biglie estratte senza reimmissione risultino dello stesso colore.
Allora... ho porvato a risolvere con entrambi i metodi...
Innanzi tutto ho fatto queste premesse:
$n$ -> Numero di biglie
$R + B + V = n$ con $B = 2R$ e $V = 2B = 4R$
Ora passo a risolvere i due esercizi:
1) Calcolare la probabilità che estraendo tre biglie, una alla volta rimettondola nell'urna, questi risultino di colore diverso:
$p=(R/n*R/n*R/n)+3(R/n*B/n*R/n)+3(R/n*R/n*V/n)+3(R/n*B/n*B/n)+6(R/n*B/n*V/n)+3(R/n*V/n*V/n)+(B/n*B/n*B/n)+3(B/n*B/n*V/n)+3(B/n*V/n*V/n)+(V/n*V/n*V/n)=$
$=R^3/n^3+3(R^2B)/n^3+3(R^2V)/n^3+3(RB^2)/n^3+6(RVB)/n^3+3(RV^2)/n^3+B^3/n^3+3(B^2V)/n^3+3(V^2B)/n^3+V^3/n^3=$
Sostituisco:
$=(R^3+6R^3+12R^3+6R^3+48R^3+48R^3+8R^3+48R^3+48R^3+64R^3)/n^3=$
La soluzione è:
$(289R^3)/n^3$ . . . Ho porvato con 14 palline, 2 Rosse, 4 Bianhe e 8 Verdi e mi è venuto $p=0.8$
2) Calcolare la probabilità che due biglie estratte senza reimmissione risultino dello stesso colore:
Questo l'ho calcolato con l'altro metodo...
Calcolo i casi favorevoli:
$R*(R-1)+B*(B-1)+V*(V-1) =$
Al solito sostituisco:
$R^2-R+4R^2-2R+16R^2-4R = 21R^2 - 7R$
Ora "calcolo" i casi possibili:
$(n!)/((n-2)!)$
Da qui...
$p=(21R^2-7R)/((n!)/((n-2)!))$
Allora (non uccidetemi)... che dite??
Un' urna contiene n biglie di tre colri diversi. Il numero di biglie di ciascun colore è il doppio del precedente.
- Calcolare la probabilità che estraendo tre biglie, una alla volta rimettondola nell'urna, questi risultino di colore diverso;
- Calcolare la probabilità che due biglie estratte senza reimmissione risultino dello stesso colore.
Allora... ho porvato a risolvere con entrambi i metodi...
Innanzi tutto ho fatto queste premesse:
$n$ -> Numero di biglie
$R + B + V = n$ con $B = 2R$ e $V = 2B = 4R$
Ora passo a risolvere i due esercizi:
1) Calcolare la probabilità che estraendo tre biglie, una alla volta rimettondola nell'urna, questi risultino di colore diverso:
$p=(R/n*R/n*R/n)+3(R/n*B/n*R/n)+3(R/n*R/n*V/n)+3(R/n*B/n*B/n)+6(R/n*B/n*V/n)+3(R/n*V/n*V/n)+(B/n*B/n*B/n)+3(B/n*B/n*V/n)+3(B/n*V/n*V/n)+(V/n*V/n*V/n)=$
$=R^3/n^3+3(R^2B)/n^3+3(R^2V)/n^3+3(RB^2)/n^3+6(RVB)/n^3+3(RV^2)/n^3+B^3/n^3+3(B^2V)/n^3+3(V^2B)/n^3+V^3/n^3=$
Sostituisco:
$=(R^3+6R^3+12R^3+6R^3+48R^3+48R^3+8R^3+48R^3+48R^3+64R^3)/n^3=$
La soluzione è:
$(289R^3)/n^3$ . . . Ho porvato con 14 palline, 2 Rosse, 4 Bianhe e 8 Verdi e mi è venuto $p=0.8$
2) Calcolare la probabilità che due biglie estratte senza reimmissione risultino dello stesso colore:
Questo l'ho calcolato con l'altro metodo...
Calcolo i casi favorevoli:
$R*(R-1)+B*(B-1)+V*(V-1) =$
Al solito sostituisco:
$R^2-R+4R^2-2R+16R^2-4R = 21R^2 - 7R$
Ora "calcolo" i casi possibili:
$(n!)/((n-2)!)$
Da qui...
$p=(21R^2-7R)/((n!)/((n-2)!))$
Allora (non uccidetemi)... che dite??
1) ma non dovevano essere di colore diverso?
si... perchè che ho calcolato in realtà?
ho visto che tieni conto delle combinazioni RRR, RRV, ... invece che solamente RVB
quindi mi basta calvolare la probabilità con la formula $6(R/n+V/n+B/n)$ ????
con i 'per' invece dei 'più'
ah si giusto... cavolo... era molto più semplice... mi sono complicato la vita.... e come mai allora la probabilità non mi esce 1??? cioè.. avendo contato tutte le possibili combinazioni la probabilità che mi esca una di quelle è 1.. cioè è sicuro...
per l'esercizio 2 è corretto invece?
per l'esercizio 2 è corretto invece?
1) ricontrolla i conti che hai fatto per p; al numeratore ti dovrebbe uscire $343*R^3$
2) ok
già cavolo... sono bravo a complicarmi la vita
"Bartolomeo":
quindi mi basta calvolare la probabilità con la formula $6(R/n*V/n*B/n)$ ????
Una cosa... quel "6"... c'è una formula per trovarlo????
Vi dico onestamente... io mi sono scritto tutti i casi possibili e l'ho ricavato in quel modo... però non so... dovrebbe trattarsi di combinazioni semplici quindi dovrebbe essere un fattoriale... però non dovrebbe essere il fattoriale del numero degli elementi... allora che fattoraile è?
Hai 3 elementi diversi R,V e B che devi permutare tra loro, dunque $P_3=(3!)=6$
Ah permutazioni... no combinazioni... grazie...
In generale sarebbero disposizioni semplici di n elementi in classe k, anche se in questo caso si possono chiamare permutazioni semplici perchè n=k e la formula coincide, nel senso che la formula delle permutazioni è un caso particolare di quella delle disposizioni.
Se ad esempio facessi solo due estrazioni anzichè tre dovresti applicare la formula delle disposizioni semplici.
Se ad esempio facessi solo due estrazioni anzichè tre dovresti applicare la formula delle disposizioni semplici.
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