Probabilità di alcuni eventi lanciando dadi speciali
Buonasera a tutti,
vorrei sottoporvi un problema che non sono riuscito a risolvere. Premetto che ho prima provato a ripassarmi tutti i capitoli su permutazioni, disposizioni e combinazioni, però non ne sono venuto a capo.
L'oggetto del contendere è un dado che ha 3 facce rappresentanti un Teschio, due facce rappresentanti uno Scudo Bianco ed una faccia rappresentante uno Scudo Nero.
Le domande sono:
1) qual è la formula per calcolare la p che mi escano almeno x Teschi lanciando y dadi?
2) qual è la forumla per calcolare la p che mi escano esattamente x Scudi Bianchi lanciano y dadi?
Grazie per l'attenzione.
vorrei sottoporvi un problema che non sono riuscito a risolvere. Premetto che ho prima provato a ripassarmi tutti i capitoli su permutazioni, disposizioni e combinazioni, però non ne sono venuto a capo.
L'oggetto del contendere è un dado che ha 3 facce rappresentanti un Teschio, due facce rappresentanti uno Scudo Bianco ed una faccia rappresentante uno Scudo Nero.
Le domande sono:
1) qual è la formula per calcolare la p che mi escano almeno x Teschi lanciando y dadi?
2) qual è la forumla per calcolare la p che mi escano esattamente x Scudi Bianchi lanciano y dadi?
Grazie per l'attenzione.
Risposte
ciao
mostra i tuoi dubbi, problemi, o dove ti blocchi ti si aiuterà di conseguenza.
mostra i tuoi dubbi, problemi, o dove ti blocchi ti si aiuterà di conseguenza.
Scusate l'assenza, sono andato in vacanza due settimane ed ero privo del computer.
Mi blocco da subito, semplicemente. Per come la vedo io si tratta di un equivalente di una estrazione di palline da un sacchetto con reintroduzione della pallina dopo l'estrazione, ho provato ad applicare la formula ma è buio pesto.
Mi blocco da subito, semplicemente. Per come la vedo io si tratta di un equivalente di una estrazione di palline da un sacchetto con reintroduzione della pallina dopo l'estrazione, ho provato ad applicare la formula ma è buio pesto.
Ti serve proprio una formula funzione di $x$ e $y$? Ad $x$ e $y$ fissati l'esercizio è banale.
Purtroppo sì, devo calcolare le probabilità a seconda del numero dei dadi e dei Teschi e Scudi per capire come bilanciare un gioco. Mi serve di sapere, ad esempio, un giocatore che ha il diritto di lanciare 4 dadi quante p ha di ottenere 1, 2, 3 o 4 teschi confrontato ad uno che ha il diritto di lanciarne 6. I risultati verranno poi comparati con il metodo di gioco attualmente in uso, che si basa invece sul lancio di semplici dadi a sei facce.
Trovare una formula è un po' rognoso. La cosa più semplice credo sia fare una tabellina trattando separatamente i casi per i vari valori di $x$ e $y$ che ti interessano (sperando che tu non abbia troppi dadi 
).
).
Ho capito. Dunque, si possono tirare al massimo 9 dadi e quindi conseguire al massimo 9 risultati utili con p= 1/2 nel caso del Teschio, 1/3 nel caso dello Scudo Bianco e 1/6 nel caso dello Scudo Nero (per ogni lancio). Comunque i casi più usati sono da 2 a 7 dadi lanciati.
"Yon":
Mi serve di sapere, ad esempio, un giocatore che ha il diritto di lanciare 4 dadi quante p ha di ottenere 1, 2, 3 o 4 teschi confrontato ad uno che ha il diritto di lanciarne 6.
1) qual è la formula per calcolare la p che mi escano almeno x Teschi lanciando y dadi?
Al più o almeno?
Intanto ti ringrazio per la pazienza.
Avevo fatto statistica all'Università, ma si parla, ahimé, di ormai 9 anni fa...
Faccio un esempio, perché mi rendo conto che non sono un fenomeno nello spiegarmi
probabilmente perché io ho tutto chiaro in testa ma in realtà non lo è.
Un giocatore ha diritto di lanciare 6 dadi. Il test si supera con almeno 4 successi, quindi vorrei sapere che possibilità ha il giocatore di ottenere 4, 5 e 6 Teschi (uso il Teschio che ha probabilità 1/2, ma suppongo che poi usando 1/3 si possa calcolare, ad esempio, anche per gli Scudi Bianchi) e vorrei anche sapere che p ha di ottenere il solo risultato di 4 Teschi ottenuti con il lancio secco di 6 dadi.
Con le due formule ricavate dovrei così essere in grado di stabilire anche, ad esempio, quante p ha un giocatore che può lanciare 4 dadi di ottenere gli stessi risultati, oppure di ottenere esattamente 3 Teschi o di ottenere almeno 3 Teschi (quindi 3 e 4 Teschi che sono i risultati utili).
In realtà credo che il tutto si riduca alla somma delle singole possibilità secche. Per il primo esempio che avevo fatto quindi la somma dell p di ottenere 4 Teschi con un lancio secco + la p di ottenerne 5 + la p di ottenerne 6.
Forse adesso è un po' più chiaro.
Avevo fatto statistica all'Università, ma si parla, ahimé, di ormai 9 anni fa...
Faccio un esempio, perché mi rendo conto che non sono un fenomeno nello spiegarmi
probabilmente perché io ho tutto chiaro in testa ma in realtà non lo è.Un giocatore ha diritto di lanciare 6 dadi. Il test si supera con almeno 4 successi, quindi vorrei sapere che possibilità ha il giocatore di ottenere 4, 5 e 6 Teschi (uso il Teschio che ha probabilità 1/2, ma suppongo che poi usando 1/3 si possa calcolare, ad esempio, anche per gli Scudi Bianchi) e vorrei anche sapere che p ha di ottenere il solo risultato di 4 Teschi ottenuti con il lancio secco di 6 dadi.
Con le due formule ricavate dovrei così essere in grado di stabilire anche, ad esempio, quante p ha un giocatore che può lanciare 4 dadi di ottenere gli stessi risultati, oppure di ottenere esattamente 3 Teschi o di ottenere almeno 3 Teschi (quindi 3 e 4 Teschi che sono i risultati utili).
In realtà credo che il tutto si riduca alla somma delle singole possibilità secche. Per il primo esempio che avevo fatto quindi la somma dell p di ottenere 4 Teschi con un lancio secco + la p di ottenerne 5 + la p di ottenerne 6.
Forse adesso è un po' più chiaro.
Novità? 
Se ho capito bene, fondamentalmente, stiamo cercando due probabilità:
a) escono almeno 4 teschi
b) escono esattamente 4 teschi
In entrambi i casi si può trovare la soluzione usando il modello binomiale. Ovvero:
$P{X=k}=((n) , (k)) p^k q^(n-k) $
Ovviamente con $p+q=1$
Nel tuo caso a) abbiamo:
$P(X>=4)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)$
Applicando il binomiale si avrà:
$P(X>=4)=[((6) , (4))* p^4 q^2]+[((6) , (5)) *p^5 q^1]+[((6) , (6))*p^6q^0] $
con $p$ la probabilità che esca teschio sulla faccia del dado e con $q$ la probabilità che esca qualcosa di diverso.
Ovviamente avendo calcolato $P{X>=4}$ abbiamo indirettamente calcolato anche la richiesta $P{X=4}$ che comunque è:
$P{X=4}=((6) , (4))* p^4 q^2 $
Spero di aver capito le domande...
a) escono almeno 4 teschi
b) escono esattamente 4 teschi
In entrambi i casi si può trovare la soluzione usando il modello binomiale. Ovvero:
$P{X=k}=((n) , (k)) p^k q^(n-k) $
Ovviamente con $p+q=1$
Nel tuo caso a) abbiamo:
$P(X>=4)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)$
Applicando il binomiale si avrà:
$P(X>=4)=[((6) , (4))* p^4 q^2]+[((6) , (5)) *p^5 q^1]+[((6) , (6))*p^6q^0] $
con $p$ la probabilità che esca teschio sulla faccia del dado e con $q$ la probabilità che esca qualcosa di diverso.
Ovviamente avendo calcolato $P{X>=4}$ abbiamo indirettamente calcolato anche la richiesta $P{X=4}$ che comunque è:
$P{X=4}=((6) , (4))* p^4 q^2 $
Spero di aver capito le domande...
Grazie per la risposta.
In questo caso se, ad esempio, lancio 6 dadi come le calcolo le p di uscita di almeno 4 teschi e di esattamente 4 teschi (considerando che il Teschio ha 0,5 p di uscita su un dado, si può fare un discorso analogo, ad esempio, per lo Scudo Bianc che ha 0,3333333)?
In questo caso se, ad esempio, lancio 6 dadi come le calcolo le p di uscita di almeno 4 teschi e di esattamente 4 teschi (considerando che il Teschio ha 0,5 p di uscita su un dado, si può fare un discorso analogo, ad esempio, per lo Scudo Bianc che ha 0,3333333)?
Se ho capito, la probabilità di un lancio del dado è 1/2 per il teschio, 1/3 per lo scudo bianco e 1/6 per lo scudo nero.
Lanciando 6 di questi dadi le probabilità sono:
numero teschi:
0 ----> 0,015625
1 ----> 0,09375
2 ----> 0,234375
3 ----> 0,3125
4 ----> 0,234375
5 ----> 0,09375
6 ----> 0,015625
Quindi P(almeno_4_teschi) = 0,34375
P(esattamente_4_teschi) = 0,234375
Nel caso di 4 lanci, le probabilità sono:
numero teschi:
0 ----> 0,0625
1 ----> 0,25
2 ----> 0,375
3 ----> 0,25
4 ----> 0,0625
numero scudi bianchi:
0 ----> 0,197531
1 ----> 0,39506
2 ----> 0,29630
3 ----> 0,09877
4 ----> 0,01234
numero scudi neri:
0 ----> 0,48225
1 ----> 0,38580
2 ----> 0,11574
3 ----> 0,01543
4 ----> 0,000772
Più complicato è se vuoi sapere le probabilità di n=4 lanci relativi a tutti i modi di uscita dei k=3 segni, che sono:
$C(n+k-1,k-1) = C(6,2) = 15$
e precisamente:
teschi-scudibianchi-scudineri
004 .......... casi = 1 .......... prob. = 0,000771605
013 .......... casi = 8 .......... prob. = 0,00617284
022 .......... casi = 24 ......... prob. = 0,018518519
031.......... casi = 32 ......... prob. = 0,024691358
040 .......... casi = 16 ......... prob. = 0,012345679
103 .......... casi = 12 ......... prob. = 0,009259259
112 .......... casi = 72 ......... prob. = 0,055555556
121.......... casi = 144 ........ prob. = 0,111111111
130 .......... casi = 96 ......... prob. = 0,074074074
202 .......... casi = 54 ......... prob. = 0,041666667
211 .......... casi = 216 ........ prob. = 0,166666667
220 .......... casi = 216 ........ prob. = 0,166666667
301 .......... casi = 108 ........ prob. = 0,083333333
310 .......... casi = 216 ........ prob. = 0,166666667
400 .......... casi = 81 ......... prob. = 0,0625
Lanciando 6 di questi dadi le probabilità sono:
numero teschi:
0 ----> 0,015625
1 ----> 0,09375
2 ----> 0,234375
3 ----> 0,3125
4 ----> 0,234375
5 ----> 0,09375
6 ----> 0,015625
Quindi P(almeno_4_teschi) = 0,34375
P(esattamente_4_teschi) = 0,234375
Nel caso di 4 lanci, le probabilità sono:
numero teschi:
0 ----> 0,0625
1 ----> 0,25
2 ----> 0,375
3 ----> 0,25
4 ----> 0,0625
numero scudi bianchi:
0 ----> 0,197531
1 ----> 0,39506
2 ----> 0,29630
3 ----> 0,09877
4 ----> 0,01234
numero scudi neri:
0 ----> 0,48225
1 ----> 0,38580
2 ----> 0,11574
3 ----> 0,01543
4 ----> 0,000772
Più complicato è se vuoi sapere le probabilità di n=4 lanci relativi a tutti i modi di uscita dei k=3 segni, che sono:
$C(n+k-1,k-1) = C(6,2) = 15$
e precisamente:
teschi-scudibianchi-scudineri
004 .......... casi = 1 .......... prob. = 0,000771605
013 .......... casi = 8 .......... prob. = 0,00617284
022 .......... casi = 24 ......... prob. = 0,018518519
031.......... casi = 32 ......... prob. = 0,024691358
040 .......... casi = 16 ......... prob. = 0,012345679
103 .......... casi = 12 ......... prob. = 0,009259259
112 .......... casi = 72 ......... prob. = 0,055555556
121.......... casi = 144 ........ prob. = 0,111111111
130 .......... casi = 96 ......... prob. = 0,074074074
202 .......... casi = 54 ......... prob. = 0,041666667
211 .......... casi = 216 ........ prob. = 0,166666667
220 .......... casi = 216 ........ prob. = 0,166666667
301 .......... casi = 108 ........ prob. = 0,083333333
310 .......... casi = 216 ........ prob. = 0,166666667
400 .......... casi = 81 ......... prob. = 0,0625
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo