Probabilità dadi

[Cianotico]

Salve, da qualche giorno io e un mio amico ci stiamo scervellando per capire come calcolare la probabilità che, lanciando 6 dadi, ne escano almeno 4 uguali (giocando a dungeons & dragons ci è capitata una ‘sfida’ simile e abbiamo iniziato a pensarci). Esiste una formula per calcolarla? Se si, la formula è applicabile a qualsiasi numero di dadi?

[Magma1]

Poiché il generico lancio di $6$ dadi è un vettore del tipo:

$omega:=(a_1,...,a_6) \text{ con } a_i in {1,...,6}, qquad omega in Omega$

si ha che lo spazio degli eventi è

$Omega={1,...,6}^6 rArr |Omega|=6^6$

Il numero di esiti che hanno $4$ dadi con la stessa faccia, ovvero che ci siano esattamente $4$ dadi con lo stesso valore, è un vettore del tipo

$(\underbrace{ a_1}_{1} , \underbrace{ a_2}_{1},\underbrace{ a_3}_{1},\underbrace{ a_4}_{1},\underbrace{ a_5}_{6},\underbrace{ a_6}_{6})$

ovvero si fissa il valore di $4$ dadi, mentre gli altri due sono liberi e quindi possono dare un qualsiasi valore in $ {1,..,6}$; ottenendo che un tale evento[nota]Indico con $jD$ l'evento in cui ci siano $j$ dadi con la stessa facci.[/nota] ha una cardinalità pari a:

$|4D|=((6),(4)) *4*6^2 qquad$[nota]Il coefficiente binomiale serve a tener conto del fatto che si può potrebbe ottenere anche un vettore del tipo $(6,k,k,6,k,k)$ oppure $(k,k,6,6,k,k)$ etcc...[/nota]

la probabilità che un simile evento accada è:

$P(4D)=((6),(4)) *4*6^2/(6^6)$

Analogamente si ha:

$P(5D)=((6),(5)) *5*6/(6^6) qquad \text{e} qquad P(6D)=((6),(6))*6 *1/(6^6)$

Quindi, sfruttando il fatto che gli eventi sono disgiunti, si ottiene:

$P(4D uu 5D uu 6D)=P(4D)+P(5D)+P(6D)=$

[ot]

$=((6),(4)) *4*1/(6^4)+((6),(5)) *5*1/(6^5)+((6),(6))*6 *1/(6^6)=$

essendo $((6),(4))=15, qquad ((6),(5))=6, qquad ((6),(6))=1$

$=15 *4*1/(6^4)+6*5*1/(6^5)+6*1/(6^6)$

$=1/6^4(60+5)+1/6^5=$

[/ot]

$=(65/6^4+1/6^5)=391/7776~~ 5%$

[superpippone]

Probabilità di avere:

4 dadi uguali - $6*(1/6)^4*(5/6)^2*(6!)/(4!*2!)=2.250/46.656$

5 dadi uguali - $6*(1/6)^5*5/6*6=180/46.656$

6 dadi uguali - $6*(1/6)^6=6/46.656$

Totale - $(2.250+180+6)/46.656=2.436/46.656=406/7.776=0,052212$

[Magma1]

Giusto, mi sono confuso io: i dadi con il valore fissato hanno un solo grado di libertà!

Sarà che mi sono appena svegliato, ma non mi è chiaro $ (6!)/(4!*2!)$

[Lo_zio_Tom]

È una semplicissima distribuzione binomiale.

$((n),(k))p^k q^(n-k)$ che poi moltiplica per tutti i 6 numeri di un dado

[Magma1]

"tommik":È una semplicissima distribuzione binomiale.

$ ((n),(k))p^k q^(n-k) $ che poi moltiplica per tutti i 6 numeri di un dado

Purtroppo le distribuzioni notevoli spesso e volentieri mi dimentico di applicarle; in questo caso era anche più immediato!