Probabilità continua
Salve a tutti ho svolto questo esercizio di cui non ho le soluzioni(spero di non aver fatto eccessive cavolate 
) e volevo sapere se è giusto come l'ho svolto o nel caso cosa andrebbe fatto.
La traccia dice "Due dispositivi indipendenti indicano un valore reale compreso tra 0 e 10. Supponendo che i valori siano causali, qual è la probabilità che la differenza tra essi, in valore assoluto, sia inferiore ad 1 ?"
Allora per svolgerlo ho chiamato i dispositivi $ X $ e $ Y $ e ho ipotizzato che la distribuzione sia uniforme per entrambi. Quindi ho detto che
$ P(|X-Y|<1)=int int_(|X-Y|<1)^()f(x,y) dx dy $ ed in seguito ho considerato che a causa dell'indipendenza deve essere che
$ int int_(|X-Y|<1)^()f(x,y) dx dy = int_(|X-Y|<1)^() f(x) dx * int_(|X-Y|<1)^() f(y) dy $ . Fatto ciò ho discusso il valore assoluto e ottenuto che la probabilità richiesta è uguale a
$ 1/10 int_(0)^(10) dy*1/10int_(0)^(1-y) dx + 1/10 int_(0)^(10) dy*1/10int_(y-1)^(10)dx $
(ho messo $ 1/10 $ perchè dovrebbe la distribuzione uniforme continua dovrebbe essere $ 1/(b-a) $ )
Alla fine ho ricavato che $ P(|X-Y|<1)=0,56 $ è giusto o ho sbagliato tutto ? Grazie
) e volevo sapere se è giusto come l'ho svolto o nel caso cosa andrebbe fatto.La traccia dice "Due dispositivi indipendenti indicano un valore reale compreso tra 0 e 10. Supponendo che i valori siano causali, qual è la probabilità che la differenza tra essi, in valore assoluto, sia inferiore ad 1 ?"
Allora per svolgerlo ho chiamato i dispositivi $ X $ e $ Y $ e ho ipotizzato che la distribuzione sia uniforme per entrambi. Quindi ho detto che
$ P(|X-Y|<1)=int int_(|X-Y|<1)^()f(x,y) dx dy $ ed in seguito ho considerato che a causa dell'indipendenza deve essere che
$ int int_(|X-Y|<1)^()f(x,y) dx dy = int_(|X-Y|<1)^() f(x) dx * int_(|X-Y|<1)^() f(y) dy $ . Fatto ciò ho discusso il valore assoluto e ottenuto che la probabilità richiesta è uguale a
$ 1/10 int_(0)^(10) dy*1/10int_(0)^(1-y) dx + 1/10 int_(0)^(10) dy*1/10int_(y-1)^(10)dx $
(ho messo $ 1/10 $ perchè dovrebbe la distribuzione uniforme continua dovrebbe essere $ 1/(b-a) $ )
Alla fine ho ricavato che $ P(|X-Y|<1)=0,56 $ è giusto o ho sbagliato tutto ? Grazie
Risposte
"gino4ever":
La traccia dice "Due dispositivi indipendenti indicano un valore reale compreso tra 0 e 10. Supponendo che i valori siano [strike]causali[/strike] CASUALI, qual è la probabilità che la differenza tra essi, in valore assoluto, sia inferiore ad 1 ?"
No, a parte il refuso nella traccia che ho corretto, la soluzione è sbagliata. Il modo più semplice è questo:
dal grafico vedi immediatamente che i due triangoli bianchi hanno base ed altezza pari a 9 e quindi l'area dell'esagono colorato è $100-81=19$
A questo punto basta fare $"Area favorevole"/"Area Totale"$ ottenendo
$P{|X-Y|<1}=19/100$
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
Ovviamente puoi anche fare i conti con l'integrale doppio...ma non come lo hai svolto tu.
Ecco come svolgere correttamente l'integrale doppio che hai impostato:
$1/100[int_0^1dxint_0^(x+1)dy+int_1^9dxint_(x-1)^(x+1)dy+int_9^(10)dxint_(x-1)^10dy]=...=19/100$
Oppure anche così:
$1-1/100[int_1^(10)dyint_0^(y-1)dx+int_0^9dyint_(y+1)^10dx]=...=19/100$
ciao
La prima soluzione effettivamente è semplice ma di mio non ci sarei mai arrivato 
, per la seconda mi fa piacere che il ragionamento di base era corretto però come al solito mi perdo con gli estremi dell'integrale. Ad ogni modo grazie mille
, per la seconda mi fa piacere che il ragionamento di base era corretto però come al solito mi perdo con gli estremi dell'integrale. Ad ogni modo grazie mille
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