Probabilità congiunte

[poncelet]

La densità di probabilità congiunta di $X$ e $Y$ è data da

$f(x, y) =6/7*(x^2 + \frac{xy}{2})\chi[0,1]xx[0,2]$

a. Verificare che $f$ sia effettivamente una densità congiunta valida.
b. Calcolare la densità di probabilità di $X$.
c. Determinare $P(X > Y )$.

a. Calcolo:

$int_(0)^(2)int_(0)^(1)6/7*(x^2 + \frac{xy}{2})dxdy= 6/7int_(0)^(2)[x^3/3+(x^2y)/4]_(0)^(1)=6/7int_(0)^(2)(1/3+y/4)dy=6/7[y/3+y^2/8]_(0)^(2)=$
$=6/7(2/3+1/2)=1$

Inoltre si tratta di una funzione sempre positiva negli intervalli in cui è definita e quindi abbiamo che è una densità valida.

b.
$f_X(x)=6/7int_(0)^(2)(x^2+(xy)/2)dy=6/7[x^2y+(xy^2)/4]_(0)^(2)=6/7(2x^2+x)=12/7x^2+6/7x$

c.

Per calcolare $P(X>Y)$ calcolo il seguente integrale:

$P(X>Y)=int_(0)^(x)int_(0)^(1)6/7(x^2+(xy)/2)dxdy=6/7int_(0)^(x)[x^3/3+(x^2y)/4]_(0)^(1)dy=$
$=6/7int_(0)^(x)(1/3+y/4)dy=6/7[y/3+y^2/8]_(0)^(x)=6/7(x/3+x^2/8)=2/7x+3/28x^2$

Corretto?

[DajeForte]

Ciao max come va? Ormai mi sono dedicato con piacere anima e corpo alla tua causa.

Apparte questo, per i primi due perfetti.
Il terzo no. Come ti ho detto altre volte puoi fare qualche ragionamento che ti da un indice sulla soluzione che hai trovato.
Ora in questo caso del vettore $(X,Y)$ conosciamo tutto quindi come fa a venire la probabilità $P(X>Y)$ dipendente da $x$?
L'errore sta nel come hai scritto il primo integrale

[poncelet]

Ciao DajeForte, tutto bene in questo (quasi) ferragosto piovoso. Ti ringrazio per la tua sempre gradita disponibilità e competenza. Allora:

mi sembrava di avere scritto una cavolata. Allora provo così:

$P(X>Y)=int_(0)^(1)int_(0)^(1)6/7(x^2+(xy)/2)dxdy=6/7int_(0)^(1)[x^3/3+(x^2y)/4]_(0)^(1)dy=$
$=6/7int_(0)^(1)(1/3+y/4)dy=6/7[y/3+y^2/8]_(0)^(1)=6/7(1/3+1/8)=11/28$

Corretto?

[DajeForte]

Così calcoli la probabilità che la variabile doppia sia nel quadrato (0,0),(1,0),(1,1),(0,1).
Diciamo che prima avevi scritto bene gli estremi però avevi sbagliato l'ordine di integrazione;
devi integrare nel triangolo (0,0)(1,0)(1,1)

[poncelet]

Ovvero così:

$P(X>Y)=int_(0)^(1)int_(0)^(x)6/7(x^2+(xy)/2)dydx=6/7int_(0)^(1)[x^2y+(xy^2)/4]_(0)^(x)dx=$
$=6/7int_(0)^(1)(x^3+x^3/4)dx=6/7[(5x^4)/16]_(0)^(1)=6/7*5/16=15/56$

Corretto?

[DajeForte]

Si

[poncelet]

Ti ringrazio. So che ho la testa dura, ma prima o poi le cose mi entreranno. Siccome sono molto arrugginito di Analisi 2, come dovevo capire l'ordine di integrazione?

[DajeForte]

Se il dominio della $y$ dipende dalla $x$, integra prima in $y$.
La cosa migliore è sempre (fin quando possibile) disegnare il dominio di integrazione e quindi prima far scorrere la variabile che avra agli estremi dei numeri (o delle funzioni ma non delle altre variabili di integrazione) e poi quelle che dipendono.

In questo caso se ti disegni il dominio potevi fare o $0

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[poncelet]

Ok, grazie mille! Mi sa che insieme alle serie sarà necessario un ripassino di analisi 2...