Probabilità congiunta continua

[namec5]

Buonasera, ho questa traccia :
$ f(X,Y)= A(x^2+y^2)
x,y in [0,1] $

Determinare il valore della costante A affinchè la funzione costituisca densità di probabilità
Ho fatto così :
$ int int_(0)^(1) A(x2+y^2)dx dy =
int int_(0)^(1) Ax^2dx dy + int int_(0)^(1)Ay^2 dx dy =1 $
$ A=3/2 $

Calcolo :
$ Pr (Y<1/2) $
Per fare questo ho ragionato così :
per prima cosa calcolo la marginale rispetto a x, poi faccio l'integrale di questa marginale per ottenere la cumulata :
$ f(X) = int_(0)^(1) 3/2(x^2+y^2) dx = 1/2+3/2y^2 $
$ F(X)= int_(0)^(1) int_(0)^(y)1/2 +3/2t^2 dx dt = 1/2y+1/2 $
$ Pr(y<1/2)= 1/2*1/2+1/2 = 5/16 $
$ Pr(Y>1/2) = 1-Pr(Y<1/2) = 11/16 $
Va bene questo modo di fare oppure è completamente sbagliato?

[Lo_zio_Tom]

ok

(non ho ben capito come hai risolto il primo integrale doppio...ma il risultato è giusto)

[namec5]

Quindi
$ F(Y)= 1/2+y^3/2 $
La terza probabilità che mi chiede è :
$ Pr(X<1/2, Y>1/2) $
Adesso io qui ho fatto il prodotto tra la marginale di x e quella di y :
$ f(x) * f(y) = F(X,Y) $
Poi faccio l'integrale doppio con la funzione che esce fuori da questo prodotto, ma non so se va bene così

[Lo_zio_Tom]

tu hai già la funzione di densità congiunta...devi usare quella e calcolare l'integrale doppio sull'insieme richiesto....

non puoi fare il prodotto delle densità...quella è la densità congiunta SSE le variabili sono indipendenti

[namec5]

$ int_ (0)^(1/2) int_(1/2)^(1) 3/2(x^2+y^2)dx dy $

$ int_ (0)^(1/2) int_(1/2)^(1) 3/2x^2dx dy + int_(0)^(1/2) int_(1/2)^(1)3/2y^2 dx dy = 49/64 $

per calcolare la costante A ho utilizzato questi 2 integrali :
$ int_(0)^(1) int_(0)^(1)A(x^2+y^2) dx dy = int_(0)^(1) int_(0)^(1)Ax^2 dx dy + int_(0)^(1) int_(0)^(1)Ay^2 dx dy =1 $