Probabilità condizionata e indipendenza

[Usernamer1]

Salve a tutti, avrei due domande veloci:
1) intuitivamente poiché la probabilità condizionata, fissato un evento $E$ è una misura di probabilità $ P(*|E) $ mi verrebbe da pensare che dati due eventi $A$ e $B$ indipendenti avendo $ P(A nn B)=P(A)P(B) $ allora sia anche $ P(A nn B|E)=P(A|E)P(B|E) $ ma in questo modo l'esercizio dà un risultato numerico sbagliato. È forse falsa l'uguaglianza $ P(A nn B|E)=P(A|E)P(B|E) $ con $A$ e $B$ indipendenti?

2) Se $A$ è indipendente da $B$ allora si può dire che per un qualunque evento $E$ sia $A$ indipendente da $B nn E$?

[Lo_zio_Tom]

Le proposizioni sono evidentemente entrambe false, in generale.

***************
Per la prima, consideriamo l'esperimento nel quale lanciamo due monete regolari e indichiamo

A: esce testa sulla prima moneta
B: esce testa sulla seconda moneta
E: esce esattamente una testa nei due lanci

Calcoliamo la probabilità di avere due teste dato che è uscita una sola testa (che evidentemente è zero).

$P((A nn B)|E)=(P(A nn B nn E))/(P(E))=0$

Con la tua supposizione avresti che la probabilità cercata è

$P(A|E)P(B|E)=(P(A nn E))/(P(E))(P(B nn E))/(P(E))=(1/4)/(1/2)(1/4)/(1/2)=1/4$

***************

Per la seconda considera il seguente diagramma:



come puoi notare gli eventi $A$ e $(B nn E)$ sono disgiunti e quindi dipendenti



ciao

[Usernamer1]

grazie!