Probabilità condizionata definizione

[gabriele812]

Salve avre bisogno che qualcuno mi aiutasse a decifrare una parte di un testo di probabilità
vi riporto il testo:

supponiamo che sia dato lo spazio di probabilità $ (Omega ,F,P) $ .
Se A,B $ in $ F allora
$ (P(A|B))=(P(A nn B)) / (P(B)) $
se
$ ((P(B))!= 0 $
fissato l'evento B possiamo definire la seguente operazione
$ P(.|B):Frarr [0,1] $
possiamo anche rappresentare in modo differente
$ P(.|B):wrarr P(.|B)(w) $
e tale che assume il valore
$ dP(.|B)(w)=0 $ se $ win B^c $
$ dP(.|B)(w)=(dP(w))/(P(B)) $ se $ win B $


La mia domanda è
0) cos'è Il punto $.$ all'interno di $P(.|B)$?
1) cosa significa fissare l'evento $B$?
2) che cos'è $P(.|B)(w)$ ?
3) che cos'è $dP(.|B)(w)$?

mi do una risposta che vorrei poteste commentare o smentire
0) il punto vuol dire un qualsiasi evento di $F$
1) significa che consideriamo uno specifico evento $B$ appartenente ad $F$
2) significa che stiamo calcolando la probabilità $P(.|B)$ dato uno specifico outcame $w$ appartenente ad $Omega$
3) non so proprio come ci sia arrivato a questo differenziale, per favore spiegatemi come lo si calcola.

[retrocomputer]

Le tue prime due risposte mi sembrano esatte. Per il resto, devo dirti che il testo non mi convince molto... Di che testo si tratta?
Cioè, l'espressione $ P(.|B):wrarr P(.|B)(w) $ va bene se lo spazio è discreto, ma per una probabilità diffusa? $ P(.|B)$ sarebbe la funzione nulla...

Poi il discorso dei differenziali devi intenderlo un po' come i $dw$ dell'integrale: $dw$ è in realtà $d\lambda(w)$, dove $\lambda$ è la misura di Lebesgue. Essendo la tua $P(.|B)$ una misura, puoi usare anche lei per definire un integrare.

[gabriele812]

Ciao Retrocomputer.Il testo è "Probabilità e modelli aleatori" di Orsingher Beghin. Credo dia per scontato l'ipotesi di uno spazio discreto di probabilità in questo caso, daltronde questo libro non è di quelli introduttivi alla teoria della probabilità.

[gabriele812]

Qundi calcolarsi
$int dP(.|B)(w)=int (dP(w))/(P(B))$ significa calcolarsi un integrale astratto su una funzione degli elementi di $Omega$. Giusto?

[retrocomputer]

Ciò che scrive Sergio mi pare già più sensato.

Per me l'espressione $ P(.|B):wrarr P(.|B)(w) $ non definisce nulla se la probabilità non è discreta e immagino che la $d$ serva proprio per distinguere il caso discreto da quello continuo, visto che in questo secondo caso $P(w)$ non dice nulla di $P$. Ricordiamoci che $P$ è una funzione d'insieme, non una funzione puntuale: la scrittura $P(w)$ è un abuso di notazione che nasconde un più corretto $P(\{w\})$.

"gabriele81":Qundi calcolarsi
$ int dP(.|B)(w)=int (dP(w))/(P(B)) $ significa calcolarsi un integrale astratto su una funzione degli elementi di $ Omega $. Giusto?

Secondo me sì, ma aspettiamo anche il parere di Sergio.

[retrocomputer]

"retrocomputer":Per me l'espressione $ P(.|B):wrarr P(.|B)(w) $ non definisce nulla se la probabilità non è discreta e immagino che la $d$ serva proprio per distinguere il caso discreto da quello continuo

"Sergio":
A me sembra niente altro che la \(d\) degli integrali di Sieltjes, che consentono appunto una trattazione unificata del continuo e del discreto.

Infatti, e in tal caso l'espressione che ho riportato sopra è inutile e dannosa, secondo me

[retrocomputer]

"Sergio":
L'espressione \(P(\cdot\mid B):\omega \rightarrow P(\cdot\mid B)(\omega)\) è forse un po' curiosa in quanto mi sarei aspettato \(\omega\mapsto P(\cdot\mid B)(\omega)\), essendo \([0,1]\) l'immagine di \(P(\cdot\mid B)\).

Sì, la notazione è probabilmente infelice, ma io mi riferivo all'uso che ne viene fatto. Poi magari è stato ricopiato male il testo e stiamo discutendo del nulla

"Sergio":
In ogni caso \(\omega\), inteso come evento elementare, come anche tu noti è un insieme non un punto, quindi \(P(\omega)\) "dice" anche se \(\Omega\) ha la cardinalità del continuo (grazie a \(F\), \(\sigma\)-algebra).

Ecco, non credo che sia compito della probabilità quello di stabilire (o anche solo di "dire" qualcosa sulla) natura dello spazio misurabile su cui è definita: prima si definisce lo spazio misurabile e poi ci si definisce sopra una misura. Per esempio, cosa mai può dire una delta di Dirac sullo spazio? Puoi definirla dove ti pare, discreto, continuo... Lei ti dice solo che vale 1 in un punto (e in tutti gli insiemi che contengono tale punto) e zero altrove...