Probabilità condizionata..
Salve, sto cercando di capire la probabilità coondizionata, ma non riesco a calcolare il prodotto logico.
Devo calcolare questo la probabilità che si verifichi "B contrario dato A". La formula da utilizzare è questa:
$ P(B^c|A) = (P( B^c ^^ A)) / (P(A)) $
Giusto?
Ma come calcolo $ P( B^c ^^ A) $ ? Ho le singole probabilità $ P(A)=1/3 $ , $ P(B)=1/8 $ e quindi anche $ P(B^c)=7/8 $
Gli eventi sono:
(ho due scatole con dei prodotti, la scatola 1 ha 10 prodotti difettosi su 30, la scatola 2 ha 4 prodotti difettosi su 36; pesco un prodotto,senza controllare, da 1 e lo inserisco in 2)
A=Il prodotto inserito in 2 è difettoso
B=Estraggo (da 2) due prodotti entrambi difettosi
Devo calcolare questo la probabilità che si verifichi "B contrario dato A". La formula da utilizzare è questa:
$ P(B^c|A) = (P( B^c ^^ A)) / (P(A)) $
Giusto?
Ma come calcolo $ P( B^c ^^ A) $ ? Ho le singole probabilità $ P(A)=1/3 $ , $ P(B)=1/8 $ e quindi anche $ P(B^c)=7/8 $
Gli eventi sono:
(ho due scatole con dei prodotti, la scatola 1 ha 10 prodotti difettosi su 30, la scatola 2 ha 4 prodotti difettosi su 36; pesco un prodotto,senza controllare, da 1 e lo inserisco in 2)
A=Il prodotto inserito in 2 è difettoso
B=Estraggo (da 2) due prodotti entrambi difettosi
Risposte
Ma l'evento B si riferisce ad una seconda (doppia) estrazione da 2 dopo che è stato aggiunto un elemnto da 1 in 2?
Si, esatto. Io estraggo un prodotto da 1 senza sapere se è difettoso o meno e lo inserisco in 2. una volta inserito in 2 estraggo due elementi. quindi al momento della estrazione in 2 ci sono 37 prodotti di cui uno(quello aggiunto) può essere difettoso o meno.
Ti conviene fare direttamente un ragionamento intuitivo.
Se l'evento A è ="ho messo un difettoso in due"; levento che ti chiede dato A significa che:
Hai estratto un difettoso da 1; lo hai messo in 2; ed ora ti trovi pronto per fare le due estrazioni da 2.
Quindi l'urna 2 conterrà 37 prodotti di cui 5 difettosi e 32 sani.
A questo punto B complemento significa "almeno uno è sano" = "tutti e due sani" unione "uno sano uno difettoso".
Diciamo che ti puoi calcolare P(B) (in questa nuova condizione di urna) e complementarlo.
Puoi anche passare per le formule ma la strada diventa più lunga.
PS la formula che dicevi è giusta, ma quando dici P(B)=1/8 è sbagliato
Se l'evento A è ="ho messo un difettoso in due"; levento che ti chiede dato A significa che:
Hai estratto un difettoso da 1; lo hai messo in 2; ed ora ti trovi pronto per fare le due estrazioni da 2.
Quindi l'urna 2 conterrà 37 prodotti di cui 5 difettosi e 32 sani.
A questo punto B complemento significa "almeno uno è sano" = "tutti e due sani" unione "uno sano uno difettoso".
Diciamo che ti puoi calcolare P(B) (in questa nuova condizione di urna) e complementarlo.
Puoi anche passare per le formule ma la strada diventa più lunga.
PS la formula che dicevi è giusta, ma quando dici P(B)=1/8 è sbagliato
Con P(B)=1/8 intendevo dire che la probabilità di pescare un prodotto difettoso è pari a 1/8.
Il ragionamento che mi ha iconsigliato l'avevo fatto anche io. Considerando la probabilità dell'evento b=estraggo 2 difettosi
$ P(B)= 5/37 $ , ovvero $ P(B^c)=35/37 $.
A questo punto come calcolo $ P(B^c|A) $ = $ (P (B^c ^^ A))/(P(A)) $
per calcolare "numericamente" come dovrei fare?
Il ragionamento che mi ha iconsigliato l'avevo fatto anche io. Considerando la probabilità dell'evento b=estraggo 2 difettosi
$ P(B)= 5/37 $ , ovvero $ P(B^c)=35/37 $.
A questo punto come calcolo $ P(B^c|A) $ = $ (P (B^c ^^ A))/(P(A)) $
per calcolare "numericamente" come dovrei fare?
non dovrebbe essere uguale a $ P(B^c)=35/37 $ ??
No, il dato A significa che la tua urna ha 37 pezzi di cui 32 difettosi.
Quindi $P("Estraggo un sano da 2"|A)=(32)/(37)$
$P("Estraggo un difettoso da 2"|A)=(5)/(37)$.
$P(B^c|A)=...$ (magari ti viene più facile fare $P(B^c|A)=1-P(B|A)=...$ )
Quindi $P("Estraggo un sano da 2"|A)=(32)/(37)$
$P("Estraggo un difettoso da 2"|A)=(5)/(37)$.
$P(B^c|A)=...$ (magari ti viene più facile fare $P(B^c|A)=1-P(B|A)=...$ )
Ma..
$ P(EstraggoUnSanoDa2∣A)=32/37 $ non è $ = P(B^c | A ) $ ?
mentre
P(Estraggoildifettoso Da 2 ∣A) $ =5/37 $ dovrebbe essere $ = P(B|A) $
giusto?
$ P(EstraggoUnSanoDa2∣A)=32/37 $ non è $ = P(B^c | A ) $ ?
mentre
P(Estraggoildifettoso Da 2 ∣A) $ =5/37 $ dovrebbe essere $ = P(B|A) $
giusto?
Il testo dell'esercizio che sto cercando di capire è questo.
Ci sono due urne composte rispettivamente: (urna A) 30 prodotti buoni e 10
difettosi, il secondo (urna B) da 36 prodotti buoni e 4 difettosi. Un prodotto della prima urna viene inserito senza essere esaminato nella seconda urna, dalla quale(urna B), poi(dopo aver inserito il prodotto preso dalla urna A) si estraggono due prodotti che poi vengono esaminati. Considerati gli eventi:
A = il prodotto inserito nella seconda urna e' difettoso
B = i prodotti estratti sono entrambi difettosi
Calcolare $ P(B^C|A) $
Il risultato è 81/82
Ci sono due urne composte rispettivamente: (urna A) 30 prodotti buoni e 10
difettosi, il secondo (urna B) da 36 prodotti buoni e 4 difettosi. Un prodotto della prima urna viene inserito senza essere esaminato nella seconda urna, dalla quale(urna B), poi(dopo aver inserito il prodotto preso dalla urna A) si estraggono due prodotti che poi vengono esaminati. Considerati gli eventi:
A = il prodotto inserito nella seconda urna e' difettoso
B = i prodotti estratti sono entrambi difettosi
Calcolare $ P(B^C|A) $
Il risultato è 81/82
"Andry459":
Ma..
$ P(EstraggoUnSanoDa2∣A)=32/37 $ non è $ = P(B^c | A ) $ ?
mentre
P(Estraggoildifettoso Da 2 ∣A) $ =5/37 $ dovrebbe essere $ = P(B|A) $
giusto?
Ma no perchè l'evento B (e B^c) si riferiscono all'estrazione di due pezzi.
Quindi $P(B|A)=(5)/(37)(4)/(36)$
$P(B^c|A)=1-(5)/(37)(4)/(36)$
"DajeForte":
Ma no perchè l'evento B (e B^c) si riferiscono all'estrazione di due pezzi.
Quindi $P(B|A)=(5)/(37)(4)/(36)$
$P(B^c|A)=1-(5)/(37)(4)/(36)$
Ma così non mi riporta..
Avrei
$P(B|A)=(5)/(37)(4)/(36)$ = $5/37 1/9=5/333$
Da cui
$P(B^c|A)=1-P(B|A)$ = $ 1-5/333 = 328/333$
Inoltre per calcolare $ P(B) $ e $ P(B^C) $ basta che considero l'evento e i dati che ho giusto?
$P(B)=4/36 3/35 = 1/105 $
$P(B^c)=1-P(B)= 104/105 $
giusto?
Sei arrivato ad una soluzione soddisfaciente o sei ancora impantanato?
P(B) non mi pare corretto, a me viene 11/999 (magari ho fatto io qualche errore di calcolo).
Tieni presente che va calcolato così: $P(B)=P(B nn A ) + P(B nn A^c)$
P(B) non mi pare corretto, a me viene 11/999 (magari ho fatto io qualche errore di calcolo).
Tieni presente che va calcolato così: $P(B)=P(B nn A ) + P(B nn A^c)$
Sempre impantanato..
Per trovare P(B) come faccio?
Dalla formula vedo che mi serve sapere la probabilità di B^^A, ma non ho quella di B..
Per trovare P(B) come faccio?
Dalla formula vedo che mi serve sapere la probabilità di B^^A, ma non ho quella di B..
Allora ti rispiego tutto l'esercizio.
Testo: Abbiamo due urne (U1 ed U2) contenenti rispettivamente 30 pezzi (di cui 10 difettosi) e 36 pezzi (di cui 4 difettosi)
L'esperimento si articola come segue: estraiamo un pezzo a caso da U1 e lo mettiamo in U2; successivamente effettuiamo una duplice estrazione da U2.
Vengono definiti i due eventi:
A = "nella prima estrazione prendiamo un pezzo difettoso" ovvero inseriremo in U2 un difettoso;
B = "vengono estratti da U2, quindi nella seconda procedura di estrazione due pezzi difettosi"
Calcolare $P(B^c|A)$.
Svolgimento: Condizionare ad A significa mettersi nell'esperimento dopo la prima estrazione ed avendo inserito in U2 un difettoso. Quindi U2 si compone di 37=36+1 pezzi di cui 5=4+1 difettosi (ed ovviamente i 32 non difettosi che erano quelli che c'erano prima).
L'evento $B^c$ equivale a dire estraiamo due pezzi sani oppure uno sano ed uno difettoso.
Calcoliamo la probabilità (ovviamente con il condizionamento ad A ovvero con l'urna U2 modificata che ti ho descritto pocanzi).
Estraiamo due sani ha probabilità: $(32)/(37)(31)/(36)$
Estraiamo uno sano ed uno difettoso: questo lo puoi scomporre a sua volta in: il primo è sano il secondo difettoso oppure il primo e difettoso ed il secondo è sano.
Probabilità (il primo è sano il secondo difettoso) = $(32)/(37)(5)/(36)$;
Probabilità (il primo è difettoso il secondo sano) = $(5)/(37)(32)/(36)$; (Ovviamente sono uguali e ti ricordo che tutte e tre le probabilità sono sotto il condizionamento ad A).
Somma = $(1312)/(1332)$.
Potevi anche utilizzare $P(B^c|A)=1-P(B|A)=1-(5)/(37)(4)/(36)=1-(20)/(1332)=(1312)/(1332)$.
Così l'esercizio è concluso.
Per calcolare P(B):
$P(B)=P(B nn A) + P(B nn A^c) = P(A) P(B|A) + P(A^c) P(B|A^c)$ (la prima uguaglianza la ottieni intersecando B con $Omega$ scritto come $Omega=A uu A^c$ ed applicando la legge delle probabilità totali; la seconda uguaglianza è la definizione di probabilità condizionata che hai scritto al primo post).
Sapresti calcolarla ora?
Testo: Abbiamo due urne (U1 ed U2) contenenti rispettivamente 30 pezzi (di cui 10 difettosi) e 36 pezzi (di cui 4 difettosi)
L'esperimento si articola come segue: estraiamo un pezzo a caso da U1 e lo mettiamo in U2; successivamente effettuiamo una duplice estrazione da U2.
Vengono definiti i due eventi:
A = "nella prima estrazione prendiamo un pezzo difettoso" ovvero inseriremo in U2 un difettoso;
B = "vengono estratti da U2, quindi nella seconda procedura di estrazione due pezzi difettosi"
Calcolare $P(B^c|A)$.
Svolgimento: Condizionare ad A significa mettersi nell'esperimento dopo la prima estrazione ed avendo inserito in U2 un difettoso. Quindi U2 si compone di 37=36+1 pezzi di cui 5=4+1 difettosi (ed ovviamente i 32 non difettosi che erano quelli che c'erano prima).
L'evento $B^c$ equivale a dire estraiamo due pezzi sani oppure uno sano ed uno difettoso.
Calcoliamo la probabilità (ovviamente con il condizionamento ad A ovvero con l'urna U2 modificata che ti ho descritto pocanzi).
Estraiamo due sani ha probabilità: $(32)/(37)(31)/(36)$
Estraiamo uno sano ed uno difettoso: questo lo puoi scomporre a sua volta in: il primo è sano il secondo difettoso oppure il primo e difettoso ed il secondo è sano.
Probabilità (il primo è sano il secondo difettoso) = $(32)/(37)(5)/(36)$;
Probabilità (il primo è difettoso il secondo sano) = $(5)/(37)(32)/(36)$; (Ovviamente sono uguali e ti ricordo che tutte e tre le probabilità sono sotto il condizionamento ad A).
Somma = $(1312)/(1332)$.
Potevi anche utilizzare $P(B^c|A)=1-P(B|A)=1-(5)/(37)(4)/(36)=1-(20)/(1332)=(1312)/(1332)$.
Così l'esercizio è concluso.
Per calcolare P(B):
$P(B)=P(B nn A) + P(B nn A^c) = P(A) P(B|A) + P(A^c) P(B|A^c)$ (la prima uguaglianza la ottieni intersecando B con $Omega$ scritto come $Omega=A uu A^c$ ed applicando la legge delle probabilità totali; la seconda uguaglianza è la definizione di probabilità condizionata che hai scritto al primo post).
Sapresti calcolarla ora?
Grazier per la spiegazione passo passo!
Al momento mi sono concentrato di più su un altra materia, appena finisco e torno alla probabilità vedo di capire bene i vari passaggi!
Al momento mi sono concentrato di più su un altra materia, appena finisco e torno alla probabilità vedo di capire bene i vari passaggi!
"DajeForte":
Per calcolare P(B):
$P(B)=P(B nn A) + P(B nn A^c) = P(A) P(B|A) + P(A^c) P(B|A^c)$
Sapresti calcolarla ora?
Non potrei calcolarla semplicemente come $ P(B)=4/36 * 3/35 $ ?
Altrimenti con la formula scritta da te ottengo:
$ P(B)= $ $1/3 * 20/1332+2/3 * 1056/1332 $ $ = 2132/3996 $
Penso ci sia qualcosa di sbagliato, suppongo in P(A).. potrebe essere?
Comunque il resto dello svolgimento ora mi è chiaro! ti ringrazio
"Andry459":
Comunque il resto dello svolgimento ora mi è chiaro! ti ringrazio
Ecco già questo è un passo avanti.
Per dopo calcoli male $P(B|A^c)$ che non è 1056/1332.
Prova a rifare il ragionamento che ti ho spegato sopra.
Comunque no non la puoi calcolare come fai, tu calcoli la probabilità di due difettosi senza però inserire un pezzo nell'urna,
se ci fai attenzione la formula che ti ho fatto vedere è una media tra P(B|A) e P(B|A^c) dove le probabilità sono P(A) e P(A^c) rispettivamente.
Ma io devo calcolare la probabilità dell'evento B, non dell'evento B dopo l'inserimento del prodotto estratto da A.
Nel senso devo calcolare la prob. che siano estratti 2 difettosi da B (senza considerare l'evento A), almeno cosi mi sembra di capire, no?
Nel senso devo calcolare la prob. che siano estratti 2 difettosi da B (senza considerare l'evento A), almeno cosi mi sembra di capire, no?
Si, ma per calcolare $P(B)$ devi passare per $P(B|A)$ e $P(B|A^c)$ con la formula
$P(B)=P(A)P(B|A)+P(A^c)P(B|A^c)$.
questa formula è molto logica: devi calcolare la prob di B a priori del sapere se in U2 hai messo un difettoso oppure no.
Quella formula dice: se hai messo un difettoso (con probabilità P(A)) la probabilità è P(B|A); se hai messo un sano (con probabiltà P(A^c)) hai P(B|A^c).
Come ti dicevo quella somma è una media tra P(B|A) e P(B|A^c), con pesi P(A) e P(A^c) rispettivamente.
$P(B)=P(A)P(B|A)+P(A^c)P(B|A^c)$.
questa formula è molto logica: devi calcolare la prob di B a priori del sapere se in U2 hai messo un difettoso oppure no.
Quella formula dice: se hai messo un difettoso (con probabilità P(A)) la probabilità è P(B|A); se hai messo un sano (con probabiltà P(A^c)) hai P(B|A^c).
Come ti dicevo quella somma è una media tra P(B|A) e P(B|A^c), con pesi P(A) e P(A^c) rispettivamente.
queste tipologie di esercizi, insieme ai numeri aleatori mi rimangono abbastanza ostici..
ora sto vedendo un esercizio svolto trovato da un amico, ma non riesco ad impostare gli eventi da cui partire..
TESTO
" un venditore deve sistemare 10 prodotti(di cui 2 sono difettosi) in due scatole, 5 in una e 5 nell'altra. Successivamente verrà effettuato un controllo di qualità sui prodotti, che si svolgerà così: si sceglie a caso una delle due scatole e si estraggono 3 prodotti e si verifica il loro funzionamento. è conveniente mettere i 2 prodotti difettosi in una sola scatola oppure uno per scatola? in quale dei due modi ho la minore possibilità che il venditore sia beccato?"
Dovrei considerare la probabilità di scegliere una scatola che abbia 2,1 o 0 elementi difettosi,giusto?
In più so che la probabilità di scegliere una scatola piuttosto che l'altra è 1/2.
Quindi avrei 2 casi possibili, 1) scatola A con 2 difettosi scatola B 0 difettosi 2) scatola A e scatola B 1 difettoso
ma non so andare avanti..
Dovrei calcolare la P(pesco un difettoso| ho messo 2 difettosi nella stessa scatola (ho messo 1 difettoso in ciascuna scatola) giusto?
ora sto vedendo un esercizio svolto trovato da un amico, ma non riesco ad impostare gli eventi da cui partire..
TESTO
" un venditore deve sistemare 10 prodotti(di cui 2 sono difettosi) in due scatole, 5 in una e 5 nell'altra. Successivamente verrà effettuato un controllo di qualità sui prodotti, che si svolgerà così: si sceglie a caso una delle due scatole e si estraggono 3 prodotti e si verifica il loro funzionamento. è conveniente mettere i 2 prodotti difettosi in una sola scatola oppure uno per scatola? in quale dei due modi ho la minore possibilità che il venditore sia beccato?"
Dovrei considerare la probabilità di scegliere una scatola che abbia 2,1 o 0 elementi difettosi,giusto?
In più so che la probabilità di scegliere una scatola piuttosto che l'altra è 1/2.
Quindi avrei 2 casi possibili, 1) scatola A con 2 difettosi scatola B 0 difettosi 2) scatola A e scatola B 1 difettoso
ma non so andare avanti..
Dovrei calcolare la P(pesco un difettoso| ho messo 2 difettosi nella stessa scatola (ho messo 1 difettoso in ciascuna scatola) giusto?
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