Probabilità condizionata

[ncavallini11]

Buongiorno a tutti,
sono ore che cerco di risolvere il seguente problema senza arrivare a una soluzione.

"Alla mensa universitaria vengono proposti $n$ piatti differenti. Il piatto 1 può essere acquistato infinite volte, mentre i piatti $2, \ldots, n$ possono essere acquistati una sola volta ciascuno. Gli studenti formano un'unica coda e possono scegliere tra i piatti rimasti (il piatto 1 non termina mai)."
Ogni piatto $i = 1, \ldots, n$ ha un coefficiente $d_i$ associato che ne influenza la probabilità di scelta da parte di uno studente. In particolare, se $A$ è l'insieme dei piatti rimanenti, il piatto $i$ è scelto con probabilità $\frac{d_i}{\sum_{j \in A} d_j} $.
Tu e il tuo migliore amico vi mettete in fila per primi. Lasci andare il tuo amico per primo e, nel frattempo, cerchi di rispondere a questi tre quesiti:

1. Qual è la probabilità che tu e il tuo amico scegliate piatti diversi?
2. Qual è la probabilità che tu scelga il piatto 1?
3. Tu scegli il piatto 1, ma non hai visto la scelta del tuo amico. Qual è la probabilità che il tuo amico abbia preso il piatto 2, sapendo che tu hai scelto il piatto 1?"

Rispondere considerando:
- per il quesito 1, il caso in cui $n = 20$ e $d[1...20] = [6, 16, 9, 6, 19, 18, 13, 9, 12, 19, 9, 17, 9, 20, 11, 19, 12, 9, 5, 18]$

- per il quesito 2, il caso in cui $n = 12$ e $d[1...12] = [7, 2, 17, 10, 20, 4, 17, 9, 2, 4, 4, 14]$

- per il quesito 3, il caso in cui $n = 8$ e $d[1...8] = [1, 6, 3, 2, 12, 12, 17, 2]$

Ho cominciato dal quesito 2, che mi pareva più semplice, e quindi ho calcolato la probabilità sommando tutti i $d_i$ e dividendo $\frac{d_1}{\sum d_j}$. Purtroppo, però ottengo risultati abbastanza vicini ma non corretti: 0.07233143349977485 (corretto), vs. 0.06363636363636363 (mio risultato).

Per gli altri due quesiti non so proprio come fare...

Sarei grato a chiunque mi potesse aiutare..
Vi ringrazio.

[Umby2]

Hai considerato il fatto che tu non sei il primo a scegliere il piatto ?

e che se il tuo amico, sceglie un piatto (diverso dal primo), lo stesso NON PUOI più prenderlo te ?

... mi pare di no ...

[ncavallini11]

"Umby":Hai considerato il fatto che tu non sei il primo a scegliere il piatto ?

e che se il tuo amico, sceglie un piatto (diverso dal primo), lo stesso NON PUOI più prenderlo te ?

... mi pare di no ...

Dovrei calcolare una probabilita' condizionata del tipo P(io scelgo il n.1 | amico sceglie n. $x$). Quindi devo calcolare le probabilità che l'amico sceglie il piatto $x$ per ogni $x = 1, \ldots, n$ e poi calcolare la prima probabilità condizionata, giusto? Scusa se le domande ti sembrano banali, ma sono all'inizio e vorrei capire a fondo il problema.

Grazie!