Probabilità con due urne vari casi

[satellitea30]

Si hanno due urne, diciamo A e B. L'urna A contiene 2 palline verdi e 8 palline rosse. L'urna B contiene 4 palline verdi e 6 palline rosse. Un giocatore estrae una pallina da ciascuna urna e prende nota del colore delle 2 palline estrat te. Se vengono estratte 2 palline verdi, il giocatore vince una torta; se delle 2 palline estratte una sola è verde, il gioca tore vince un sacchetto di caramelle; altrimenti non vince niente.

a. Qual è la probabilità che il giocatore vinca la torta?

b. Qual è la probabilità che il giocatore vinca un sacchetto di caramelle?

c. Qual è la probabilità che il giocatore non vinca nulla?

d. Supponiamo che n giocatori (ne N, con n ≥ 2) partecipino al gioco. Ciascun giocatore estrae una pallina da A e una da B, quindi rimette le palline rispettivamente in A e in B prima dell'estrazione da parte del successivo gioca tore. Indichiamo con Pn la probabilità che almeno uno tra gli n giocatori vinca la torta; determina per quali valori di n la probabilità Pn risulta superiore al 99%.

Salve i primi 3 punti li ho risolti senza problema

A) $2/25$

B) $11/25$

C) $12/25$

È il punto D che mi dà problemi perché secondo me va usata la formula delle ripetute di bernoulli ma non so come impostare questa l incognita ma probabilmente sto usando un metodo sbagliato ?

[satellitea30]

avevo provato a impostare $((n!)/(1!(n-1)!))(2/25)^1(1-2/25)^(n-1)=0,99$

Ma viene un numero strano mentre il risultato è 56

[ghira1]

"satellitea30":almeno uno

[satellitea30]

Si si ho capito che quel almeno uno implica che può essere uno o due o tre o n..... Vittorie

[ghira1]

"satellitea30":Si si ho capito che quel almeno uno implica che può essere uno o due o tre o n..... Vittorie

Dovresti rivedere la formula che hai messo, allora.

[satellitea30]

Allora ho capito che si deve impostare la formula in modo cumulativo ma non ho idea di come sommare n eventi con quella formula. Praticamente $X=K$ con $K>1$ ... Ma non so come fare se è questa la strada da seguire
>

[ghira1]

Quali numeri di successi non vanno bene?

[satellitea30]

i numeri di successi che non vanno bene è quando non cè nessuna vittoria credo

[satellitea30]

credo di aver capito ho provato a togliere a 1 le probabilità che ci siano zero eventi:
$1-\left(\frac{x!}{0!\left(x-0\right)!}\right)\left(\frac{2}{25}\right)^0\left(1-\frac{2}{25}\right)^x=0.99$

poi isolando l'incognita n viene 55.23 quindi ne deduco che 55 non bastano e ne servono 56. Credo sia corretto cosi

[ghira1]

Credo anch'io.

[satellitea30]

Grazie ancora

[tranesend]

"satellitea30":
d. Supponiamo che n giocatori (ne N, con n ≥ 2) partecipino al gioco. Ciascun giocatore estrae una pallina da A e una da B, quindi rimette le palline rispettivamente in A e in B prima dell'estrazione da parte del successivo gioca tore. Indichiamo con Pn la probabilità che almeno uno tra gli n giocatori vinca la torta; determina per quali valori di n la probabilità Pn risulta superiore al 99%.

Io lo ho impostato così:

\[A_n =\{\text{almeno uno tra gli n giocatori vince la torta} \} \]
Il complementare sarà:
\[ B_n = \{ \text{nessuno tra n giocatori vince la torta }\} \]

Allora avremo che \( P(A_n) = 1- P(B_n)\).
L'evento \(B_n\) corrisponde al caso in cui il primo giocatore NON vince la torta, il secondo giocatore NON vince la torta, il terzo giocatore NON vince la torta e così via fino ad arrivare all'\(n\)-esimo giocatore che NON dovrà vincere la torta. Quindi scriviamo l'evento in questo modo:
\[ B_n=\bigcap_{i=1}^{n} {B^i_n} \]
dove \(B^i_n = \{ \text{il giocatore i-esimo non vince la torta su un totale di n giocatori} \}\)

Adesso, gli eventi \( B^i_n\) sono chiaramente indipendenti perché i giocatori giocano indipendentemente l'un dall'altro, poiché le palline vengono rimesse nelle rispettive urne dopo ogni giocata.
Quindi:
\[ P(B_n)=\prod_{i=1}^{n} {P(B^i_n)} \]

Per ogni \( i=1,...,n \) abbiamo che \(P(B^i_n)= 1-\frac{2}{25}=\frac{23}{25}\)

Quindi avremo che:
\[ P(B_n)=\prod_{i=1}^{n} {P(B^i_n)} = \left(\frac{23}{25}\right)^n\]

Quindi la nostra equazione per la risoluzione dell'esercizio sarà
\[ 1 - P(B_n) > 0,99 \iff 1-\left(\frac{23}{25}\right)^n >0,99 \iff \left(\frac{23}{25}\right)^n<\frac{1}{100} \]

Risolvendo l'equazione in \( n\) dovrebbe venire proprio \(n>55,23\), quindi la soluzione sarà per \(n \geq 26 \)

[Umby2]

"tranesend":
.... quindi la soluzione sarà per \(n \geq 26 \)