Probabilità con anagrammmi
se ho 2 parole : PARAPIGLIA e TRENITALIA.
qual'è la probabilità che un anagramma estratto a caso dalla parola PARAPIGLIA e uno estratto a caso dalla parola TRENITALIA inizino con la stessa lettera???
i casi possibili dovrebbero essere (10! / 24) * (10! / 8).
i casi favorevoli mi sfuggono , qualche suggerimento?
qual'è la probabilità che un anagramma estratto a caso dalla parola PARAPIGLIA e uno estratto a caso dalla parola TRENITALIA inizino con la stessa lettera???
i casi possibili dovrebbero essere (10! / 24) * (10! / 8).
i casi favorevoli mi sfuggono , qualche suggerimento?
Risposte
secondo me puoi ricondurlo facilmente ad un modello con estrazione da urne, pensando alle lettere delle parole come a palline, forse ti riduci ad un caso che hai già studiato...
"itpareid":
secondo me puoi ricondurlo facilmente ad un modello con estrazione da urne, pensando alle lettere delle parole come a palline, forse ti riduci ad un caso che hai già studiato...
il mio prof mi ha risposto cosi 2 minuti fa:
"ciao
al numeratore bisogna fare 4 casi diversi e poi sommarli: esempio se A è la
prima sono permutazioni di 9 lettere per entrambe le parole (con le
opportune ripetizioni) moltiplicate e così via.."
mio comento : nebbia...
io la vedrei così:
due urne, $1$ e $2$
nell'urna $1$ ci sono 2 palline $P$, 3 palline $A$, 1 pallina $R$, ...
nell'urna $2$ ci sono 2 palline $T$, 1 pallina $R$, ...
l'evento in questo modo diventa: estraggo una pallina dall'urna $1$ e una dall'urna $2$, qual è la probabilità che siano uguali?
poi calcolerei i casi possibili e i casi favorevoli (non ci vuole tanto, alcune lettere sono solamente in una parola)
due urne, $1$ e $2$
nell'urna $1$ ci sono 2 palline $P$, 3 palline $A$, 1 pallina $R$, ...
nell'urna $2$ ci sono 2 palline $T$, 1 pallina $R$, ...
l'evento in questo modo diventa: estraggo una pallina dall'urna $1$ e una dall'urna $2$, qual è la probabilità che siano uguali?
poi calcolerei i casi possibili e i casi favorevoli (non ci vuole tanto, alcune lettere sono solamente in una parola)
"itpareid":
io la vedrei così:
due urne, $1$ e $2$
nell'urna $1$ ci sono 2 palline $P$, 3 palline $A$, 1 pallina $R$, ...
nell'urna $2$ ci sono 2 palline $T$, 1 pallina $R$, ...
l'evento in questo modo diventa: estraggo una pallina dall'urna $1$ e una dall'urna $2$, qual è la probabilità che siano uguali?
poi calcolerei i casi possibili e i casi favorevoli (non ci vuole tanto, alcune lettere sono solamente in una parola)
e le due palline I che troviamo rispettivamente nelle 2 urne non le conteggiamo?
ho messo i puntini perché si devono conteggiare tutte (scusa credevo fosse chiaro), avrai in totale 10 palline in ogni urna
"mathicale":
il mio prof mi ha risposto cosi 2 minuti fa:
"ciao
al numeratore bisogna fare 4 casi diversi e poi sommarli: esempio se A è la
prima sono permutazioni di 9 lettere per entrambe le parole (con le
opportune ripetizioni) moltiplicate e così via.."
mio comento : nebbia...
Un approccio possibile è quello di rapportare i casi favorevoli ai casi possibili. Hai contato correttamente i casi possibili.
Quelli favorevoli si compongono da 4 sottocasi disgiunti (incompatibili): i due anagrammi iniziano entrambi per A, I, R, L.
Quanti casi favorevoli hanno entrambi gli anagrammi inzianti per A ?
Contiamo gli anagrammi della prima parola inizianti per A. La prima lettera è fissa (A). Restano da permutare le 9 lettere restanti, tenendo conto delle ripetizioni (la A 2 volte, la I due volte, la P 2 volte). Abbiamo allora $(9!)/(2!*2!*2!)$ casi.
Contiamo gli anagrammi della seconda parola inizianti per A. La prima lettera è fissa (A). Restano da permutare le 9 lettere restanti, tenendo conto delle ripetizioni (la I due volte, la T 2 volte). Abbiamo allora $(9!)/(2!*2!)$ casi.
In totale per il primo sottocaso abbiamo allora: $(9!)/(2!*2!*2!)*(9!)/(2!*2!)$ casi favorevoli.
Analogamente procedi per gli altri 3 sottocasi. Poi li sommi (eventi incompatibili) per avere i casi favorevoli.
Un altro possibile approccio è quello che ti ha suggerito itpareid, in analogia all'estrazione da un'urna.
La probabilità che i due anagrammi inizino con la stessa lettera è la somma delle 4 probabilità che inizino entrambi con A, I, R, L.
La probabilità che inizino entrambi con A è il prodotto delle probabilità (eventi indipendenti) che dalla prima urna estrai una A ($3/10$) per la probabilità di estrarre A dalla seconda urna ($2/10$). Analogamente per gli altri 3 casi.
In questo modo ottieni la stessa soluzione in modo più rapido e semplice...
sempre per il modello con le urne, visto che i casi non sono molti,li puoi anche contare...anche se la soluzione proposta da cenzo è molto più elegante!
dobbiamo considerare le coppie $(\pi_1,\pi_2)$ dove $\pi_1$ è l'estrazione dalla prima urna e $\pi_2$ dalla seconda.
I casi possibili sono dati dalla estrazione di ogni pallina della prima urna "combinata" con qualsiasi urna della seconda, per un totale di $10^2$ casi possibili.
per i casi favorevoli si contano i casi in cui le due estrazioni restituiscono lettere uguali (per la lettera P nessun caso, eccetera)
poi si fa il rapporto casi favorevoli/casi possibili.
qua si può fare perché i casi sono relativamente pochi, ma per numeri più grandi diventa lunga, molto meglio sfruttare l'indipendenza e la soluzione di cenzo!
spero di non avere creato confusione...
dobbiamo considerare le coppie $(\pi_1,\pi_2)$ dove $\pi_1$ è l'estrazione dalla prima urna e $\pi_2$ dalla seconda.
I casi possibili sono dati dalla estrazione di ogni pallina della prima urna "combinata" con qualsiasi urna della seconda, per un totale di $10^2$ casi possibili.
per i casi favorevoli si contano i casi in cui le due estrazioni restituiscono lettere uguali (per la lettera P nessun caso, eccetera)
poi si fa il rapporto casi favorevoli/casi possibili.
qua si può fare perché i casi sono relativamente pochi, ma per numeri più grandi diventa lunga, molto meglio sfruttare l'indipendenza e la soluzione di cenzo!
spero di non avere creato confusione...
"itpareid":
spero di non avere creato confusione...
No, anzi.. penso che la tua variante al secondo approccio sia praticamente la stessa cosa:
tu suggerivi di fare $3*2+2*2+1*1+1*1$ casi favorevoli su $10^2$ casi possibili (scusami, non avevo capito subito )
Io invece $3/10*2/10+...$
Praticamente uguale
sì in pratica la stessa cosa, però la tua secondo me è molto meglio 
"cenzo":
[quote="mathicale"]il mio prof mi ha risposto cosi 2 minuti fa:
"ciao
al numeratore bisogna fare 4 casi diversi e poi sommarli: esempio se A è la
prima sono permutazioni di 9 lettere per entrambe le parole (con le
opportune ripetizioni) moltiplicate e così via.."
mio comento : nebbia...
Un approccio possibile è quello di rapportare i casi favorevoli ai casi possibili. Hai contato correttamente i casi possibili.
Quelli favorevoli si compongono da 4 sottocasi disgiunti (incompatibili): i due anagrammi iniziano entrambi per A, I, R, L.
Quanti casi favorevoli hanno entrambi gli anagrammi inzianti per A ?
Contiamo gli anagrammi della prima parola inizianti per A. La prima lettera è fissa (A). Restano da permutare le 9 lettere restanti, tenendo conto delle ripetizioni (la A 2 volte, la I due volte, la P 2 volte). Abbiamo allora $(9!)/(2!*2!*2!)$ casi.
Contiamo gli anagrammi della seconda parola inizianti per A. La prima lettera è fissa (A). Restano da permutare le 9 lettere restanti, tenendo conto delle ripetizioni (la I due volte, la T 2 volte). Abbiamo allora $(9!)/(2!*2!)$ casi.
In totale per il primo sottocaso abbiamo allora: $(9!)/(2!*2!*2!)*(9!)/(2!*2!)$ casi favorevoli.
Analogamente procedi per gli altri 3 sottocasi. Poi li sommi (eventi incompatibili) per avere i casi favorevoli.
Un altro possibile approccio è quello che ti ha suggerito itpareid, in analogia all'estrazione da un'urna.
La probabilità che i due anagrammi inizino con la stessa lettera è la somma delle 4 probabilità che inizino entrambi con A, I, R, L.
La probabilità che inizino entrambi con A è il prodotto delle probabilità (eventi indipendenti) che dalla prima urna estrai una A ($3/10$) per la probabilità di estrarre A dalla seconda urna ($2/10$). Analogamente per gli altri 3 casi.
In questo modo ottieni la stessa soluzione in modo più rapido e semplice...
[/quote]ci sono arrivato, grazie 1000!!!
la probabilità è pari a 381 / 3175
perfetto! (che semplificato dà 3/25)
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