[PROBABILITÀ-COMBINATORIO] L'Isola dei Famosi
Un saluto al Forum, mi chiamo Raffaele, ho 21 anni e studio Economia 
Ho un'Isola dei Famosi con 51 concorrenti, e in ogni puntata i 10 concorrenti meno votati se ne tornano a casa. Devo calcolare la probabilità, oggi, che il mio amato Capitan Findus sia fatto fuori alla prima puntata; la probabilità che venga eliminato alla seconda; la probabilità che non arrivi alla quarta serata, e così via. Infine la probabilità che vinca. Le valutazioni le faccio tutte ad oggi, quando lo show non è ancora iniziato e nessun concorrente è stato ancora eliminato.
Soluzione mia
$"La probabilità che C. Findus venga eliminato nella prima puntata è" = "Combinazioni di 10 concorrenti contenenti Capitan Findus" /"Tutte le possibili combinazioni di 10 concorrenti"$
In formula
$ ((("Totale concorrenti - 1 (C. Findus)"),("Eliminati per puntata - 1 (C. Findus)"))) / ((("Totale concorrenti"),("Eliminati per puntata"))) = (((50), (9))) / (((51), (10)))$
E adesso?
È formalmente corretta? E gli altri quesiti? Mi mette in difficoltà il fatto che ogni puntata ci sono 10 concorrenti di meno. In rete non trovo esempi al riguardo
Non essendo dell'ambiente gradirei (perchè no?) anche link o testi cartacei sull'argomento "Probabilità". (Questo problema mi è venuto durante una lezione di matematica finanziaria)
Ho un'Isola dei Famosi con 51 concorrenti, e in ogni puntata i 10 concorrenti meno votati se ne tornano a casa. Devo calcolare la probabilità, oggi, che il mio amato Capitan Findus sia fatto fuori alla prima puntata; la probabilità che venga eliminato alla seconda; la probabilità che non arrivi alla quarta serata, e così via. Infine la probabilità che vinca. Le valutazioni le faccio tutte ad oggi, quando lo show non è ancora iniziato e nessun concorrente è stato ancora eliminato.
Soluzione mia
$"La probabilità che C. Findus venga eliminato nella prima puntata è" = "Combinazioni di 10 concorrenti contenenti Capitan Findus" /"Tutte le possibili combinazioni di 10 concorrenti"$
In formula
$ ((("Totale concorrenti - 1 (C. Findus)"),("Eliminati per puntata - 1 (C. Findus)"))) / ((("Totale concorrenti"),("Eliminati per puntata"))) = (((50), (9))) / (((51), (10)))$
E adesso?
È formalmente corretta? E gli altri quesiti? Mi mette in difficoltà il fatto che ogni puntata ci sono 10 concorrenti di meno. In rete non trovo esempi al riguardo
Non essendo dell'ambiente gradirei (perchè no?) anche link o testi cartacei sull'argomento "Probabilità". (Questo problema mi è venuto durante una lezione di matematica finanziaria)
Risposte
Azzardo una soluzione. La probabilità che sia eliminato durante la quarta puntata è
$(1 - "Probabilità che sia eliminato nella prima o nella seconda o nella terza") * "Combinazioni che contengono C. Findus" / "Combinazioni dei concorrenti rimasti"$
Ricordando che, all'inizio della quarta puntata, i concorrenti rimasti sono 21 e ponendo
$alpha = "Probabilità che sia eliminato in una delle tre puntate precedenti"$
Abbiamo
$(1 - alpha) * (((20), (9))) / (((21), (10)))$
Idee/pareri/suggerimenti?
[offtopic]
Come faccio se per spezzare l'input in più linee (es. \$ di apertura in questa linea, poi \$ di chiusura 2 righi più giù)?
[/offtopic]
$(1 - "Probabilità che sia eliminato nella prima o nella seconda o nella terza") * "Combinazioni che contengono C. Findus" / "Combinazioni dei concorrenti rimasti"$
Ricordando che, all'inizio della quarta puntata, i concorrenti rimasti sono 21 e ponendo
$alpha = "Probabilità che sia eliminato in una delle tre puntate precedenti"$
Abbiamo
$(1 - alpha) * (((20), (9))) / (((21), (10)))$
Idee/pareri/suggerimenti?
[offtopic]
Come faccio se per spezzare l'input in più linee (es. \$ di apertura in questa linea, poi \$ di chiusura 2 righi più giù)?
[/offtopic]
Innanzitutto benvenuta nel forum...
La tua formula è giusta, ora generalizziamola un pochino.
Ammettiamo di essere ad una delle quattro puntate, la prob che capita finds venga eliminato sarà:
$P[\text{c.c. findus viene eliminato alla n puntata | siamo alla n puntata }]=(((50-10*(n-1)),(9))) / (( (51-10*(n-1)), (10) ))$ con $n=0,1,2,3$. Per facilità di scrittura rappresentiamo la probabilità sopra descritta con $P(n)$.
Quindi, la prob che non arrivi alla terza serata sarà :
$P(0)+(1-P(0))*P(1)$ e così via.
La prob, di vittoria sarà:
$1-P[\text{di essere eliminato}]$
La tua formula è giusta, ora generalizziamola un pochino.
Ammettiamo di essere ad una delle quattro puntate, la prob che capita finds venga eliminato sarà:
$P[\text{c.c. findus viene eliminato alla n puntata | siamo alla n puntata }]=(((50-10*(n-1)),(9))) / (( (51-10*(n-1)), (10) ))$ con $n=0,1,2,3$. Per facilità di scrittura rappresentiamo la probabilità sopra descritta con $P(n)$.
Quindi, la prob che non arrivi alla terza serata sarà :
$P(0)+(1-P(0))*P(1)$ e così via.
La prob, di vittoria sarà:
$1-P[\text{di essere eliminato}]$
Grazie mille per la risposta tempestiva. Ma il tuo nick è un retaggio del TurboPascal? 
Hai dimenticato di aprire una parentesi all'inizio (prima di P(0) ) o sono io che non ho capito bene?
Quindi riassumo e scrivo tutto per bene
$N = "numero dei concorrenti"$
$k = "indice della puntata"$
Chiamiamo $Q_k$ la probabilità che il nostro C. Findus sia eliminato durante la $k$-esima puntata. Tale funzione non tiene conto delle puntate precedenti, ma solo del numero di concorrenti rimasti, calcolato come funzione di $k$. Osserviamo che è
$Q_k = (((N - 10 * (k - 1) - 1), (9))) / (((N - 10 * (k - 1)), (10)))$
posto $alpha = N - 10 * (k - 1)$, abbiamo
$Q_k = (((alpha - 1)!) / (9! * (alpha - 1 - 9)!)) / ((alpha!) / (10! * (alpha - 10)!)) = 10 / (alpha) = 10 / (N - 10 * (k - 1))$, che è alquanto curioso nella sua semplicità, non vi pare?
Ma $Q_k$, come detto, non contiene la probabilità storica che il nostro concorrente sia eliminato in una delle puntate precedenti alla $k$-esima. Giungiamo così alla formula finale ricorsiva
$P_k = (1 - P_(k - 1)) * Q_k$
A questo punto vorrei continuare per esprimere $P_(k - 1)$ in funzione di $P_1$ , dato che $P_1 = Q_1 = 10 / N$, ma sto avendo delle difficoltà
Hai dimenticato di aprire una parentesi all'inizio (prima di P(0) ) o sono io che non ho capito bene?
Quindi riassumo e scrivo tutto per bene
$N = "numero dei concorrenti"$
$k = "indice della puntata"$
Chiamiamo $Q_k$ la probabilità che il nostro C. Findus sia eliminato durante la $k$-esima puntata. Tale funzione non tiene conto delle puntate precedenti, ma solo del numero di concorrenti rimasti, calcolato come funzione di $k$. Osserviamo che è
$Q_k = (((N - 10 * (k - 1) - 1), (9))) / (((N - 10 * (k - 1)), (10)))$
posto $alpha = N - 10 * (k - 1)$, abbiamo
$Q_k = (((alpha - 1)!) / (9! * (alpha - 1 - 9)!)) / ((alpha!) / (10! * (alpha - 10)!)) = 10 / (alpha) = 10 / (N - 10 * (k - 1))$, che è alquanto curioso nella sua semplicità, non vi pare?
Ma $Q_k$, come detto, non contiene la probabilità storica che il nostro concorrente sia eliminato in una delle puntate precedenti alla $k$-esima. Giungiamo così alla formula finale ricorsiva
$P_k = (1 - P_(k - 1)) * Q_k$
A questo punto vorrei continuare per esprimere $P_(k - 1)$ in funzione di $P_1$ , dato che $P_1 = Q_1 = 10 / N$, ma sto avendo delle difficoltà
Ma perchè vi complicate così tanto la vita ? 
Ho l'impressione che a volte si goda a percorrere la strada più difficile, perchè ?
Nel primo gruppo di eliminati, fanno parte 10 dei 51 concorrenti. La probabilità che il ns. Capitano ne faccia parte è quindi $10/51$
Nel secondo altri 10. Anche qui, abbiamo $10/51$, cosi come il terzo, il quarto, ed il quinto.
L'ultimo gruppo (il vincitore) $1/51$
Ovviamente: $10/51 + 10/51 + 10/51 + 10/51 + 10/51 + 1/51 = 1$
Ho l'impressione che a volte si goda a percorrere la strada più difficile, perchè ?
Nel primo gruppo di eliminati, fanno parte 10 dei 51 concorrenti. La probabilità che il ns. Capitano ne faccia parte è quindi $10/51$
Nel secondo altri 10. Anche qui, abbiamo $10/51$, cosi come il terzo, il quarto, ed il quinto.
L'ultimo gruppo (il vincitore) $1/51$
Ovviamente: $10/51 + 10/51 + 10/51 + 10/51 + 10/51 + 1/51 = 1$
Ma tu sei sicuro che si possa calcolare così??? Perchè la cosa strana è che allora la probabilità che sia eliminato nella prima puntata è esattamente la stessa che sia eliminato nella quarta. Sarebbe corretto così?
te che dubbio hai ?
cosa ha la prima di diversa dalla quarta ?
cosa ha la prima di diversa dalla quarta ?
Che per arrivare alla quarta deve superarne tre... Quindi per me la probabilità doveva essere influenzata da questo fatto
Invece seguendo il tuo ragionamento è come se ci fossero 5 "gruppi" e si tirasse a sorte a quale dei 5 il concorrente appartiene..
Non ho idea di come si risolvono questi problemi. Al liceo ho fatto qualcosa con le solite palline e le carte da poker
ma ricordo abbastanza distintamente che, proprio in base all'esempio delle palline, il prof ci disse che se toglievi la pallina dall'urna si seguiva un altro ragionamento. Oppure era se la lasciavi??? :confused:
Invece seguendo il tuo ragionamento è come se ci fossero 5 "gruppi" e si tirasse a sorte a quale dei 5 il concorrente appartiene..
Non ho idea di come si risolvono questi problemi. Al liceo ho fatto qualcosa con le solite palline e le carte da poker
ma ricordo abbastanza distintamente che, proprio in base all'esempio delle palline, il prof ci disse che se toglievi la pallina dall'urna si seguiva un altro ragionamento. Oppure era se la lasciavi??? :confused:
"raffaele181188":
Un saluto al Forum, mi chiamo Raffaele, ho 21 anni e studio Economia
... ti sei dimenticato di dire che dopodomani è il tuo compleanno.
Tornando IN-TOPIC:
Immagina che quando inizia il Grande Fratello, parti per un viaggio di 2 mesi alle Maldive. Al ritorno (purtroppo) la trasmissione è terminata, ma arrivi giusto in tempo per vedere l'ultima puntata.
La conduttrice ha messo i primi 10 esclusi nella stanza A, i secondi 10 nella stanza B, ..... i quinti 10 nella stanza E, mentre il vincitore è in studio con lei.
Domanda: Trovi differenze tra le 5 stanze ? Pensi che la probabilità che il tuo capitano possa essere nella stanza A sia differente dalla B, C, D, E ?
"Umby":
... ti sei dimenticato di dire che dopodomani è il tuo compleanno
Eh già
Fra poco ne compio 21 sto invecchiando.. sarà per questo che perdo colpi!!!La tua spiegazione mi ha convinto, anche perchè la soluzione coincide con quella che mi ha fa fatto sorgere il dubbio, quindi non ho più motivo di dubitare. Il mio ragionamento contorto è dovuto anche alla natura di questo campo. Documentandomi, infatti, sono capitato sulle pagine con i paradossi classici (tipo le tre carte e quello della capra con le automobili), che mi hanno convinto che la soluzione a questi problemi deve essere per forza "tricky": se è troppo facile vuol dire che è sbagliata
Scherzi a parte, spero di avere tempo per approfondire. Grazie dell'aiuto, e alla prossima
"raffaele181188":
La tua spiegazione mi ha convinto,
Scherzi a parte, spero di avere tempo per approfondire. Grazie dell'aiuto, e alla prossima
Come hai letto dei 2 mesi alle Maldive, ti sei convinto subito.
Se proprio hai tempo, potresti dimostrare che i tuoi calcoli porteranno allo stesso risultato.
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