Probabilità combinatoria e var. aleatorie
Ciao a tutti, ho qualche problemino con 2 esercizi di prob. combinatoria e var. aleatorie; purtroppo non conosco i risultati, quindi sarei grato se potresti dirmi la vostra opinione sulle mie soluzioni.
Es. 1: Si estraggono due carte a caso da un mazzo di 52, senza reinserimento. Qual è la probabilitèà che la seconda valga di più della prima?
Ciò a cui non riesco ad arrivare è una formulazione convincente della probabilità. Cioè, secondo me non è possibile dare un soluzione numerica precisa del valore della prob., perchè questa cambiarà radicalmente in base al valore della prima carta pescata.
Quindi ho pensato di scrivere: $P(A) = 1 - 4/(52)3/51 - 4(13 - v)/51$
Significa: dalla prob. certa, sottraggo la prob. di 2 carte uguali (con la prob. condizionata) e poi sottraggo la prob. che la seconda sia minore della prima. La lettera V rappresenta il volore della carta pensata per prima, che viene moltiplicato per i 4 semi e diviso per le 51 carte rimanenti.
Es. 2: Una segretaria irritata con il suo principale, dovendo spedire n lettere diverse ad altrettanti destinatari, inserisce a caso una lettera in ogni busta indirizzata.
(a) Con che probabilitµa tutti i destinatari riceveranno correttamente la loro lettera.
(b) Sia X il numero di destinatari che ricevono la loro lettera, calcolare E [X] e var(X).
Suggerimento: per il punto (b) può essere utile introdurre le variabili indicatrici degli eventi $E_i$ = { destinatario i-esimo riceve correttamente la sua lettera}
Si tratta di considerare le var. aleatorie, secondo me si tratta una binomiale.
In classe l' abbiamo definita come: $X in BINOM(n, p) => p_X(k) = P(X = k) = ((n),(k))p^k(1 - p)^(n - k)$, cioè la distribuzione di massa (oppure densità di massa) della var. X nell' assumere il valore\stato k = {lettera inviata correttamente}. I primi 2 fattori rappresentano tutte le combinazioni delle k lettere mandate correttamente, mentre il terzo fattore è il complementare che rappresenta le restanti n - k.
Il prolema è che anche qui manca un dato: k perchè non credo ci sia modo, dai dati del problema, per risalire al numero di lettere spedite correttamente. Poi che per quanto rigurda la prob. p, penso si tratti solo di $p = 1/n$, anche se non ne sono molto sicuro. Se non sbaglio dovrebbe essere la probabilità di ogni var. di Bernoulli con compone la binomiale, quindi dubito che ad ogni inserimento di lettera, la prob. sia sempre $1/n$, ma non mi viene in mente altro. Anche perchè se la prob. p cambiasse per ogni inserimento, allora non si tratterebbe più di ver. di Bernuolii e quindi di binomiale..
Poi per quanto riguarda il punto (b) non so bene che fare..
Che ne dite ?
Grazie a tutti..
Es. 1: Si estraggono due carte a caso da un mazzo di 52, senza reinserimento. Qual è la probabilitèà che la seconda valga di più della prima?
Ciò a cui non riesco ad arrivare è una formulazione convincente della probabilità. Cioè, secondo me non è possibile dare un soluzione numerica precisa del valore della prob., perchè questa cambiarà radicalmente in base al valore della prima carta pescata.
Quindi ho pensato di scrivere: $P(A) = 1 - 4/(52)3/51 - 4(13 - v)/51$
Significa: dalla prob. certa, sottraggo la prob. di 2 carte uguali (con la prob. condizionata) e poi sottraggo la prob. che la seconda sia minore della prima. La lettera V rappresenta il volore della carta pensata per prima, che viene moltiplicato per i 4 semi e diviso per le 51 carte rimanenti.
Es. 2: Una segretaria irritata con il suo principale, dovendo spedire n lettere diverse ad altrettanti destinatari, inserisce a caso una lettera in ogni busta indirizzata.
(a) Con che probabilitµa tutti i destinatari riceveranno correttamente la loro lettera.
(b) Sia X il numero di destinatari che ricevono la loro lettera, calcolare E [X] e var(X).
Suggerimento: per il punto (b) può essere utile introdurre le variabili indicatrici degli eventi $E_i$ = { destinatario i-esimo riceve correttamente la sua lettera}
Si tratta di considerare le var. aleatorie, secondo me si tratta una binomiale.
In classe l' abbiamo definita come: $X in BINOM(n, p) => p_X(k) = P(X = k) = ((n),(k))p^k(1 - p)^(n - k)$, cioè la distribuzione di massa (oppure densità di massa) della var. X nell' assumere il valore\stato k = {lettera inviata correttamente}. I primi 2 fattori rappresentano tutte le combinazioni delle k lettere mandate correttamente, mentre il terzo fattore è il complementare che rappresenta le restanti n - k.
Il prolema è che anche qui manca un dato: k perchè non credo ci sia modo, dai dati del problema, per risalire al numero di lettere spedite correttamente. Poi che per quanto rigurda la prob. p, penso si tratti solo di $p = 1/n$, anche se non ne sono molto sicuro. Se non sbaglio dovrebbe essere la probabilità di ogni var. di Bernoulli con compone la binomiale, quindi dubito che ad ogni inserimento di lettera, la prob. sia sempre $1/n$, ma non mi viene in mente altro. Anche perchè se la prob. p cambiasse per ogni inserimento, allora non si tratterebbe più di ver. di Bernuolii e quindi di binomiale..
Poi per quanto riguarda il punto (b) non so bene che fare..
Che ne dite ?
Grazie a tutti..
Risposte
Mi dispiace ma non sono riuscito a trovare il nesso fra quello che cercavo e ciò che mi hai suggerito. il teorema che non riesco ad usare è espresso così:
$E[X] = sum_(x in a)xp_X(x) = sum_(x in a) x sum_(i = 1)^(n) P_(X|A_i)(x)P(A_i) = sum_(i = 1)^(n) sum_(x in a) xP_(X|A_i)P(A_i) = sum_(i = 1)^(n) E[X|A_i]P(A_i)$
dove a = {alfabeto di X} cioè un numero $0 <= k <= n$, ed "i" dovrebbe essere il numero totali delle lettere da inviare, ok ?
Il fatto è che non riesco ad inquadrare bene $P(A_i)$ perchè non ho molta dimestichezza con l' aspettazione di eventi condizionati. Dovrebbe trattarsi della prob. assoluta di mettere una lettera al posto giusto, ma non essendo condizionata, non ha memoria dei precedenti inserimento, quindi dovrebbe essere sempre $1/n$, no ? Invece la prob. di in inserimento corretto, tenendo memoria dei precedenti è: $P_(X|A_i)(x)$. Ma se così fosse. avrei che $P_(X|A_i)(x)$ è sempre uguale a $1/(n - 1)$, che non mi pare vada bene.
Quindi dov' è che sbaglio..
EDIT: la lettera k sarebbe il numero X di lettere spedite correttamente, riportato sul testo dell' esercizio.
$E[X] = sum_(x in a)xp_X(x) = sum_(x in a) x sum_(i = 1)^(n) P_(X|A_i)(x)P(A_i) = sum_(i = 1)^(n) sum_(x in a) xP_(X|A_i)P(A_i) = sum_(i = 1)^(n) E[X|A_i]P(A_i)$
dove a = {alfabeto di X} cioè un numero $0 <= k <= n$, ed "i" dovrebbe essere il numero totali delle lettere da inviare, ok ?
Il fatto è che non riesco ad inquadrare bene $P(A_i)$ perchè non ho molta dimestichezza con l' aspettazione di eventi condizionati. Dovrebbe trattarsi della prob. assoluta di mettere una lettera al posto giusto, ma non essendo condizionata, non ha memoria dei precedenti inserimento, quindi dovrebbe essere sempre $1/n$, no ? Invece la prob. di in inserimento corretto, tenendo memoria dei precedenti è: $P_(X|A_i)(x)$. Ma se così fosse. avrei che $P_(X|A_i)(x)$ è sempre uguale a $1/(n - 1)$, che non mi pare vada bene.
Quindi dov' è che sbaglio..
EDIT: la lettera k sarebbe il numero X di lettere spedite correttamente, riportato sul testo dell' esercizio.
Mi riferivo alla domanda (b):
(b) Sia X il numero di destinatari che ricevono la loro lettera, calcolare E [X] e var(X).
Immaginiamo che abbiamo 8 lettere, con 8 destinatari.
Abbiamo già stabilito che la P(tutti i destinatari ricevono la lettera giusta) è pari a: $1/(8!)$
... e fin qui ci siamo...
Ritengo che il testo ti stia chiedendo quale sia la probabilità di:
P(Nessun destinatario con la lettera giusta)
P(Uno solo con la lettera giusta)
P(Due " " " " " ")
.....
....
P(7 con la lettera giusta) [impossibile]
P(8 con la lettera giusta) [Tutti --> Vedi sopra]
(b) Sia X il numero di destinatari che ricevono la loro lettera, calcolare E [X] e var(X).
Immaginiamo che abbiamo 8 lettere, con 8 destinatari.
Abbiamo già stabilito che la P(tutti i destinatari ricevono la lettera giusta) è pari a: $1/(8!)$
... e fin qui ci siamo...
Ritengo che il testo ti stia chiedendo quale sia la probabilità di:
P(Nessun destinatario con la lettera giusta)
P(Uno solo con la lettera giusta)
P(Due " " " " " ")
.....
....
P(7 con la lettera giusta) [impossibile]
P(8 con la lettera giusta) [Tutti --> Vedi sopra]
Dovrebbe trattarsi della prob. assoluta di mettere una lettera al posto giusto, ma non essendo condizionata, non ha memoria dei precedenti inserimento, quindi dovrebbe essere sempre $1/n$, no ?
Sì; considerala così: hai $n$ eventi, definisci $A_1$ l'evento "prima lettera nella busta corretta", $A_2$ l'evento "seconda lettera nella busta corretta" e in generale $A_i$ l'evento "lettera i-esima nella busta corretta". La probabilità di $A_1$ ovvero che la prima lettera sia nella busta corretta è $p=1/n$, e lo stesso vale per tutti gli $A_i$.
Ora, se per esempio vuoi calcolare la p. che tutte siano corrette come ti chiede il problema, partiamo dal calcolare la probabilità che la prima e seconda siano nella busta giusta:
$P(A_1 nn A_2)=P(A_1)*P(A_2|A_1)=(1/n)*(1/(n-1))$
(infatti la probabilità di $A_2$ supponendo $A_1$ verificato è $1/(n-1)$); ora passiamo a calcolare la probabilità che la prima, seconda e terza siano nella busta giusta:
$P(A_1 nn A_2 nn A_3)=P(A_1)*P(A_2|A_1)*P(A_3|A_1 nn A_2)=(1/n)*(1/(n-1))*(1/(n-2))$
e cosi proseguiamo, fino a trovare la formula per calcolare la probabilità che tutte siano nella busta giusta:
$P(A_1 nn A_2 nn ... nn A_n)=(1/n)*(1/(n-1))*...*(1/1)=1/(n!)$
Copiata pari pari dal mio vecchio libro di statistica. "Very elegant"
"Rggb":Dovrebbe trattarsi della prob. assoluta di mettere una lettera al posto giusto, ma non essendo condizionata, non ha memoria dei precedenti inserimento, quindi dovrebbe essere sempre $1/n$, no ?
Sì; considerala così: hai $n$ eventi, definisci $A_1$ l'evento "prima lettera nella busta corretta", $A_2$ l'evento "seconda lettera nella busta corretta" e in generale $A_i$ l'evento "lettera i-esima nella busta corretta". La probabilità di $A_1$ ovvero che la prima lettera sia nella busta corretta è $p=1/n$, e lo stesso vale per tutti gli $A_i$.
Ora, se per esempio vuoi calcolare la p. che tutte siano corrette come ti chiede il problema, partiamo dal calcolare la probabilità che la prima e seconda siano nella busta giusta:
$P(A_1 nn A_2)=P(A_1)*P(A_2|A_1)=(1/n)*(1/(n-1))$
(infatti la probabilità di $A_2$ supponendo $A_1$ verificato è $1/(n-1)$); ora passiamo a calcolare la probabilità che la prima, seconda e terza siano nella busta giusta:
$P(A_1 nn A_2 nn A_3)=P(A_1)*P(A_2|A_1)*P(A_3|A_1 nn A_2)=(1/n)*(1/(n-1))*(1/(n-2))$
e cosi proseguiamo, fino a trovare la formula per calcolare la probabilità che tutte siano nella busta giusta:
$P(A_1 nn A_2 nn ... nn A_n)=(1/n)*(1/(n-1))*...*(1/1)=1/(n!)$
Copiata pari pari dal mio vecchio libro di statistica. "Very elegant"
Certo hai perfettamente, devo aver confuso da densità di prob. con l' aspettazione, in effetti è solo questì ultima che ha la sommatoria.
.. ma quindi eravate fermi ancora alla domanda a) ? 
"Umby":
.. ma quindi eravate fermi ancora alla domanda a) ?
diciamo che si stava andando avando su 2 "fronti", a te ho risposto rispetto alla (b), a Rggb rispetto alla (a)
.. ma quindi eravate fermi ancora alla domanda a) ?
"Ni". Se capisci il ragionamento per (a) - basato esclusivamente sulla probabilità senza combinatoria - è più facile costruire il ragionamento per (b). Vedi anche il suggerimento nel testo del problema.
@Umby con il discorso dell' aspettazione totale mi riferivo alla domanda (b), a cui ho tentato di rispondere in questa 3a pagina di topic. Per ora quindi sono sicuro solo che $P(A_i) = 1/n$, ma per il resto ho ancora dubbi sulla formula che ho scritto prima..
E comunque il testo di (b) chiede appunto l' aspettazione non la prob che si avverino un certo numero di eventi..
E comunque il testo di (b) chiede appunto l' aspettazione non la prob che si avverino un certo numero di eventi..
Provo a dare un risoluzione un pò lunghetta, ma che mi pare convincente:
Cominciò col dire che $P(A_i) = 1/n$, cioè si parte da un punto, e questo ha n diramazione tutte con prob. $1/n$, poi ogni evento, ha altre 2 diramazioni: una porta alla prob. di mettere la i-esima lettera nel posto corretto dopo (i - 1) successi, quindi prob. $1/(n - i)$, mentre l' altra direzione è il suo complementare ad 1, quindi $1 - 1/(n - i)$.
Fino a qui non ho dubbi..
Ora applico la formula scritta in precedenza: $E[X] = sum_(i = 1)^(n) sum_(x in a) xp_(X|A_i)P(A_i)$, con a = {0,1, .. ,k} con $k <= n$ (k sarebbe X)
Come già detto, il problema vero è come trattare $p_(X|A_i)(x)$, ho pensato che al primo ciclo, dopo una lettera inviata, avrò: $p_(X|A_i)(x) = 1/(n - 1)$
Scrivi un veloce sviluppo:
$i = 1 => 1*1/(n - 1)1/n + 2*1/(n - 1)1/n + .... + k*1/(n - 1)1/n
$+
$i = 2 => 1*1/(n - 2)1/n + 2*1/(n - 2)1/n + .... + k*1/(n - 2)1/n
$+
$.
$.
$.
$+
$i = k => 1*1/(n - k)1/n + 2*1/(n - k)1/n + .... + k*1/(n - k)1/n$
a questo punto sono finiti i k successi, quindi considererò: $p_(X|A_i)(x) = 1 - 1/(n - i)$
$+
$i = k + 1 => 1*(1 - 1/(n - k + 1))1/n + 2*(1 -1/(n - k + 1))1/n + .... + k*(1 - 1/(n - k + 1))1/n
$+
$.
$.
$+
$i = n => 1*(1 - 1/(n - n))1/n + 2*(1 -1/(n - n))1/n + .... + k*(1 - 1/(n - n))1/n
Solo che alla fine mi viene $1/(n - n)$..
che ne dite ?
Cominciò col dire che $P(A_i) = 1/n$, cioè si parte da un punto, e questo ha n diramazione tutte con prob. $1/n$, poi ogni evento, ha altre 2 diramazioni: una porta alla prob. di mettere la i-esima lettera nel posto corretto dopo (i - 1) successi, quindi prob. $1/(n - i)$, mentre l' altra direzione è il suo complementare ad 1, quindi $1 - 1/(n - i)$.
Fino a qui non ho dubbi..
Ora applico la formula scritta in precedenza: $E[X] = sum_(i = 1)^(n) sum_(x in a) xp_(X|A_i)P(A_i)$, con a = {0,1, .. ,k} con $k <= n$ (k sarebbe X)
Come già detto, il problema vero è come trattare $p_(X|A_i)(x)$, ho pensato che al primo ciclo, dopo una lettera inviata, avrò: $p_(X|A_i)(x) = 1/(n - 1)$
Scrivi un veloce sviluppo:
$i = 1 => 1*1/(n - 1)1/n + 2*1/(n - 1)1/n + .... + k*1/(n - 1)1/n
$+
$i = 2 => 1*1/(n - 2)1/n + 2*1/(n - 2)1/n + .... + k*1/(n - 2)1/n
$+
$.
$.
$.
$+
$i = k => 1*1/(n - k)1/n + 2*1/(n - k)1/n + .... + k*1/(n - k)1/n$
a questo punto sono finiti i k successi, quindi considererò: $p_(X|A_i)(x) = 1 - 1/(n - i)$
$+
$i = k + 1 => 1*(1 - 1/(n - k + 1))1/n + 2*(1 -1/(n - k + 1))1/n + .... + k*(1 - 1/(n - k + 1))1/n
$+
$.
$.
$+
$i = n => 1*(1 - 1/(n - n))1/n + 2*(1 -1/(n - n))1/n + .... + k*(1 - 1/(n - n))1/n
Solo che alla fine mi viene $1/(n - n)$..
che ne dite ?
"stefano_89":
che ne dite ?
Prima di commentare quello che hai scritto, vorrei capire in quale direzione stai andando.
Come ti dissi ieri, secondo me, il testo ti sta chiedendo:
Esempio di 8 lettere con 8 destinatari:
P(0) 14833
P(1) 14832
P(2) 7420
...
P(7) 0
P(8) 1
il tutto su 40.320 disposizioni
E' questo che stai calcolando, o altro ?
Sì in parte è anche quello, cioè nella formula che ho detto prima, quei dati che hai detto rappresentano i vari: $P_(X|A_i)(x)$
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