Probabilità, Calcolo combinatorio

[Eclipto1]

Ciao, sto cercando di risolvere un esercizio, ma il mio risultato è un po' diverso da quello che dovrei ottenere e vorrei capire perché. Il testo recita:

"Un gruppo di 3 uomini e 6 donne è diviso in modo casuale in 3 gruppi di 3 persone ciascuno. Qual è la probabilità di avere un gruppo i soli uomini?"

Grazie, ciao

[vict85]

A te che risultato è venuto?

[Eclipto1]

1/84.
Il risultato dovrebbe invece essere 1/21, ma non capisco perché.

Il mio risultato deriva alla seguente espressione:

(bin(3,3)*bin(6,3)*bin(3,3))/(bin(9,3)*bin(6,3)*bin(3,3)).

Perdona la formattazione, purtroppo al momento non posso fare di meglio.
Grazie

[Cronovirus]

Indubbiamente Bin(9,3) ti dice in quanti sottoinsiemi hai di tre persone, ovvero 84.
Ora però devi vedere in quanti di questi ci sono solo uomini: 4.
quindi la probabilità di avere un raggruppamento di 3 uomini è $4/84 = 1/21$

[nino_12]

Sui $C(9,3)=84$ casi possibili, i casi favorevoli sono questi $3$:

UUU - DDD - DDD
DDD - UUU - DDD
DDD - DDD - UUU

Quindi, la probabilità di avere un gruppo di 3 uomini è $1/28$

------------

$54$ casi hanno UUD - UDD - DDD
$27$ casi hanno UDD - UDD - UDD

[Eclipto1]

Io ho fatto il seguente ragionamento, ditemi dove sbaglio.

A denominatore ho messo i modi in cui potevo creare i 3 gruppi, cioè bin(9,3)*bin(6,3)*bin(3,3) (creo il primo gruppo da 3, il secondo dai rimanenti e il terzo dai tre rimanenti).

A numeratore ho messo i casi in cui un gruppo è formato da soli uomini. Questo significa che tra i tre uomini dovrò sceglierne proprio 3 (bin(3,3)), e dovrò fare altri due gruppi a partire dalle 6 donne (quindi bin(6,3)*bin(3,3)).

Dove sta l'errore?

[momo16]

"Eclipto":Io ho fatto il seguente ragionamento, ditemi dove sbaglio.

A denominatore ho messo i modi in cui potevo creare i 3 gruppi, cioè bin(9,3)*bin(6,3)*bin(3,3) (creo il primo gruppo da 3, il secondo dai rimanenti e il terzo dai tre rimanenti).

A numeratore ho messo i casi in cui un gruppo è formato da soli uomini. Questo significa che tra i tre uomini dovrò sceglierne proprio 3 (bin(3,3)), e dovrò fare altri due gruppi a partire dalle 6 donne (quindi bin(6,3)*bin(3,3)).

Dove sta l'errore?

L'errore sta nel fatto che se combini i 3 uomini, ti rimangono giocoforza 6 donne. Non ti interessa come sono disposte queste.

[Eclipto1]

Ovviamente sbaglio, ma a me parrebbe che a denominatore sto considerando i modi in cui posso disporre le donne, e quindi l'ho considerato anche a numeratore.

Nel senso, a denominatore ci sono i casi

UUU D1D2D3 D4D5D6
UUU D1D2D4 D3D5D6
UD1D2 UUD3 D4D5D6
...

e quindi ho messo a numeratore i casi
UUU D1D2D3 D4D5D6
UUU D1D2D4 D3D5D6

Fra parentesi, non insisto perché penso di avere ragione ovviamente, insisto solo perché mi piacerebbe convincermi di dove sia il mio errore in modo da non commetterlo più.

Grazie

[nino_12]

Consideriamo pure, come hai supposto tu, che sia gli uomini che le donne siano distinguibili, U1,U2,U3,D1,D2,D3,D4,D5,D6
e che quindi i modi totali in cui si possono formare i 3 gruppi siano:

$C(9,3)*C(6,3)*C(3,3)=1680$

Vediamo allora come si possono disporre:

1) Un gruppo di 3 uomini e due gruppi di 3 donne (tipo U1U2U3 ... D1-D2-D3 ... D4-D5-D6)
$P(3;2,1)*[C(3,3)*C(6,3)*C(3,3)] = 60$ sono i casi favorevoli al quiz

2) Un gruppo di 2 uomini 1 donna, un gruppo di 1 uomo 2 donne e un gruppo di 3 donne (tipo U1U2D1 ... U3D2D3 ... D4D5D6)
$P(3;1,1,1)*[C(3,2)*C(6,1)*C(1,1)*C(5,2)*C(3,3)] = 1080$ casi

3) Tre gruppi ciascuno di 1 uomo 2 donne (tipo U1D1D2 ... U2D3D4 ... U3D5D6)
$P(3;3)*[C(3,1)*C(6,2)*C(2,1)*C(4,2)*C(1,1)*C(2,2)] = 540$ casi

$p(1) = 60/1680 = 1/28 = 0,0357$ come ho riportato nel messaggio precedente.

[vict85]

Ignorando il resto, il primo uomo sta in un qualche gruppo. Quindi ciò che conta è come seleziono la coppia che sta con lui. Vi è una sola coppia accettabile mentre le coppie possibili sono \(\displaystyle \binom{8}{2} = \frac{8!}{2!6!} = 4\cdot 7 = 28 \). Quindi devo dire che anche a me viene \(\displaystyle \frac{1}{28} \). E mi è venuto anche pensando in modo diverso, più simile a quello di nino_. Questo però mi sembra il più immediato.

@ Cronovirus : quali sarebbero questi 4 sottoinsiemi di 3 persone con soli uomini? Ci sono 3 uomini, quindi al limite hai 6 ordini diversi per estrarli.

[Eclipto1]

Chiarissimi, vi ringrazio moltissimo!